Вариант 5, страница 30 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Элементы теории относительности. Самостоятельная работа. Элементы СТО - страница 30.

Условие.

Вариант 5*

1. Две частицы движутся навстречу друг другу, каждая со скоростью $0.75c$ относительно неподвижной системы отсчёта. Определите скорость сближения частиц.

2. Какую работу надо совершить для увеличения скорости движения электрона от $0.7c$ до $0.9c$?

Решение.

1. Дано:

Скорость первой частицы относительно неподвижной системы отсчета: $v_1 = 0,75c$.

Скорость второй частицы относительно неподвижной системы отсчета: $v_2 = -0,75c$ (знак «минус» означает, что частицы движутся навстречу друг другу).

Найти:

Скорость сближения частиц $v_{сбл}$.

Решение:

Для нахождения скорости сближения частиц в релятивистском случае используется закон сложения скоростей Эйнштейна. Скорость сближения — это скорость одной частицы, измеренная в системе отсчета, связанной с другой частицей.

Пусть неподвижная система отсчета (в которой даны скорости) — это $K$. Система отсчета, связанная с первой частицей, — это $K'$. Скорость системы $K'$ относительно $K$ равна $v = v_1 = 0,75c$. Скорость второй частицы в системе $K$ равна $u = v_2 = -0,75c$.

Скорость второй частицы относительно первой ($u'$) находится по релятивистской формуле сложения скоростей:

$u' = \frac{u - v}{1 - \frac{uv}{c^2}}$

Подставим известные значения в формулу:

$u' = \frac{-0,75c - 0,75c}{1 - \frac{(-0,75c)(0,75c)}{c^2}} = \frac{-1,5c}{1 - \frac{-0,5625c^2}{c^2}} = \frac{-1,5c}{1 + 0,5625} = \frac{-1,5c}{1,5625}$

Выполним вычисление:

$u' = -\frac{1,5}{1,5625}c = -\frac{24}{25}c = -0,96c$

Знак «минус» указывает на то, что частицы сближаются. Скорость сближения является модулем (абсолютной величиной) полученной относительной скорости:

$v_{сбл} = |u'| = 0,96c$

Ответ: скорость сближения частиц равна $0,96c$.

2.

Дано:

Начальная скорость электрона: $v_1 = 0,7c$.

Конечная скорость электрона: $v_2 = 0,9c$.

Масса покоя электрона (справочное значение): $m_0 \approx 9,11 \cdot 10^{-31}$ кг.

Скорость света в вакууме (справочное значение): $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с.

Найти:

Работу $A$.

Решение:

Согласно теореме о кинетической энергии, работа, совершаемая для увеличения скорости тела, равна изменению его кинетической энергии. В релятивистской механике это записывается как $A = \Delta K = K_2 - K_1$.

Кинетическая энергия релятивистской частицы определяется формулой:

$K = E - E_0 = mc^2 - m_0c^2 = (\gamma - 1)m_0c^2$

где $E_0 = m_0c^2$ — энергия покоя, а $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ — релятивистский фактор (фактор Лоренца).

Тогда искомая работа равна:

$A = K_2 - K_1 = ((\gamma_2 - 1)m_0c^2) - ((\gamma_1 - 1)m_0c^2) = (\gamma_2 - \gamma_1)m_0c^2$

1. Вычислим фактор Лоренца для начальной скорости $v_1 = 0,7c$:

$\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{1 - (v_1/c)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,7^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,49}} = \frac{1}{\sqrt{0,51}} \approx 1,400$

2. Вычислим фактор Лоренца для конечной скорости $v_2 = 0,9c$:

$\gamma_2 = \frac{1}{\sqrt{1 - (v_2/c)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,9^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,81}} = \frac{1}{\sqrt{0,19}} \approx 2,294$

3. Рассчитаем работу, подставив значения в формулу:

$A = (\gamma_2 - \gamma_1)m_0c^2 \approx (2,294 - 1,400) \cdot (9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2$

$A \approx 0,894 \cdot (9,11 \cdot 10^{-31}) \cdot (9 \cdot 10^{16}) \text{ Дж}$

$A \approx 0,894 \cdot 8,199 \cdot 10^{-14} \text{ Дж} \approx 7,33 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}$

Ответ: для увеличения скорости электрона надо совершить работу, равную $7,33 \cdot 10^{-14}$ Дж.