Вариант 4, страница 30 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Элементы теории относительности. Самостоятельная работа. Элементы СТО - страница 30.

Условие.

Вариант 4

1. Скорость ракеты относительно неподвижного наблюдателя составляет $0,6c$. Сколько времени пройдёт по часам неподвижного наблюдателя, если по часам в ракете пройдёт 6 мин?

2. Электрон движется со скоростью $0,8c$. Определите массу электрона и его полную энергию.

Решение.

1. Скорость ракеты относительно неподвижного наблюдателя составляет 0,6с. Сколько времени пройдёт по часам неподвижного наблюдателя, если по часам в ракете пройдёт 6 мин?

Дано:

Скорость ракеты, $v = 0,6c$
Собственное время (в ракете), $\Delta t_0 = 6$ мин

$c$ — скорость света
$\Delta t_0 = 6 \text{ мин} = 6 \cdot 60 \text{ с} = 360 \text{ с}$

Найти:

Время для неподвижного наблюдателя, $\Delta t$ - ?

Решение:

Согласно специальной теории относительности, время в движущейся системе отсчета течет медленнее, чем в неподвижной. Это явление называется релятивистским замедлением времени. Связь между промежутком времени в неподвижной системе отсчета ($\Delta t$) и собственным временем в движущейся системе ($\Delta t_0$) выражается формулой:
$\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$
Подставим данные из условия задачи в эту формулу. Расчет можно провести в минутах, так как отношение скоростей $v/c$ является безразмерной величиной.
$\Delta t = \frac{6 \text{ мин}}{\sqrt{1 - \frac{(0,6c)^2}{c^2}}} = \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{0,36c^2}{c^2}}} = \frac{6}{\sqrt{1 - 0,36}} = \frac{6}{\sqrt{0,64}} = \frac{6}{0,8} = 7,5 \text{ мин}$.

Ответ: по часам неподвижного наблюдателя пройдёт 7,5 минут.

2. Электрон движется со скоростью 0,8с. Определите массу электрона и его полную энергию.

Дано:

Скорость электрона, $v = 0,8c$
Масса покоя электрона, $m_0 \approx 9,11 \cdot 10^{-31}$ кг
Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Данные приведены в системе СИ.

Найти:

Релятивистская масса электрона, $m$ - ?
Полная энергия электрона, $E$ - ?

Решение:

1. Масса объекта, движущегося с релятивистской скоростью (близкой к скорости света), увеличивается. Релятивистская масса $m$ связана с массой покоя $m_0$ следующим соотношением:
$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$
Подставим значения:
$m = \frac{9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}{\sqrt{1 - \frac{(0,8c)^2}{c^2}}} = \frac{9,11 \cdot 10^{-31}}{\sqrt{1 - 0,64}} = \frac{9,11 \cdot 10^{-31}}{\sqrt{0,36}} = \frac{9,11 \cdot 10^{-31}}{0,6} \approx 15,18 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \approx 1,52 \cdot 10^{-30} \text{ кг}$.

2. Полная энергия $E$ движущегося тела определяется знаменитой формулой Эйнштейна, связывающей массу и энергию:
$E = mc^2$
Здесь $m$ — это релятивистская масса, которую мы уже нашли. Подставим значения $m$ и $c$:
$E = (1,52 \cdot 10^{-30} \text{ кг}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2 = 1,52 \cdot 10^{-30} \cdot 9 \cdot 10^{16} \text{ Дж} = 13,68 \cdot 10^{-14} \text{ Дж} \approx 1,37 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$.

Ответ: релятивистская масса электрона составляет примерно $1,52 \cdot 10^{-30}$ кг, а его полная энергия — примерно $1,37 \cdot 10^{-13}$ Дж.