Вариант 4, страница 31 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Квантовая физика. Кванты света. Фотоэффект. Самостоятельная работа № 1. Фотоны. Кванты излучения - страница 31.

Условие.

Вариант 4

1. Определите длину волны фотона, импульс которого равен импульсу электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов 4,9 В.

2. Предполагается, что 25-ваттная лампа за одну секунду излучает $152 \cdot 10^{18}$ фотонов. Чему равна длина волны этого излучения?

Решение.

1.

Дано:

Разность потенциалов $U = 4,9$ В
Импульс фотона $p_{ф}$ равен импульсу электрона $p_{e}$
Постоянная Планка $h \approx 6,626 \cdot 10^{-34}$ Дж·с
Масса электрона $m_e \approx 9,11 \cdot 10^{-31}$ кг
Элементарный заряд $e \approx 1,602 \cdot 10^{-19}$ Кл

Найти:

Длину волны фотона $\lambda_{ф}$ - ?

Решение:

Импульс фотона $p_{ф}$ связан с его длиной волны $\lambda_{ф}$ соотношением де Бройля:

$p_{ф} = \frac{h}{\lambda_{ф}}$

Когда электрон проходит ускоряющую разность потенциалов $U$, работа электрического поля $A = eU$ переходит в его кинетическую энергию $E_k$.

$E_k = eU$

Кинетическая энергия электрона также может быть выражена через его импульс $p_e$:

$E_k = \frac{p_e^2}{2m_e}$

Приравнивая два выражения для кинетической энергии, мы можем найти импульс электрона:

$eU = \frac{p_e^2}{2m_e} \implies p_e = \sqrt{2m_e eU}$

По условию задачи, импульс фотона равен импульсу электрона, $p_{ф} = p_{e}$. Следовательно:

$\frac{h}{\lambda_{ф}} = \sqrt{2m_e eU}$

Отсюда выражаем искомую длину волны фотона:

$\lambda_{ф} = \frac{h}{\sqrt{2m_e eU}}$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$\lambda_{ф} = \frac{6,626 \cdot 10^{-34}}{\sqrt{2 \cdot 9,11 \cdot 10^{-31} \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \cdot 4,9}} = \frac{6,626 \cdot 10^{-34}}{\sqrt{1,428 \cdot 10^{-48}}} \approx \frac{6,626 \cdot 10^{-34}}{1,195 \cdot 10^{-24}} \approx 5,55 \cdot 10^{-10}$ м

Полученное значение можно выразить в нанометрах: $5,55 \cdot 10^{-10}$ м = 0,555 нм.

Ответ: $\lambda_{ф} \approx 5,55 \cdot 10^{-10}$ м.

2.

Дано:

Мощность лампы $P = 25$ Вт
Время излучения $t = 1$ с
Число фотонов $N = 152 \cdot 10^{18}$
Постоянная Планка $h \approx 6,626 \cdot 10^{-34}$ Дж·с
Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

Длину волны излучения $\lambda$ - ?

Решение:

Мощность излучения $P$ — это полная энергия $E_{полн}$, излучённая за время $t$.

$P = \frac{E_{полн}}{t}$

Полная энергия $E_{полн}$ складывается из энергий $N$ одинаковых фотонов. Энергия одного фотона $E_{ф}$ зависит от длины волны $\lambda$ следующим образом:

$E_{ф} = \frac{hc}{\lambda}$

Таким образом, полная энергия излучения равна:

$E_{полн} = N \cdot E_{ф} = N \frac{hc}{\lambda}$

Подставим выражение для полной энергии в формулу мощности:

$P = \frac{N h c}{\lambda t}$

Теперь выразим из этой формулы искомую длину волны $\lambda$:

$\lambda = \frac{N h c}{P t}$

Подставим числовые значения:

$\lambda = \frac{152 \cdot 10^{18} \cdot 6,626 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{25 \cdot 1} = \frac{3021,7 \cdot 10^{-8}}{25} \approx 120,87 \cdot 10^{-8}$ м

Округлим результат и представим его в стандартном виде:

$\lambda \approx 1,21 \cdot 10^{-6}$ м. Это соответствует 1210 нм (инфракрасное излучение).

Ответ: $\lambda \approx 1,21 \cdot 10^{-6}$ м.