Вариант 2, страница 33 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Квантовая физика. Атомная физика. Самостоятельная работа № 1. Квантовые постулаты Бора. Модель атома водорода по Бору - страница 33.

Условие.

Вариант 3

1. На основании первого постулата Бора вычислите радиус первой орбиты электрона для атома водорода.

2. Электрон внешней оболочки атома переходит из стационарного состояния с энергией $E_1$ в стационарное состояние с энергией $E_2$, поглощая квант излучения с частотой $\nu_1$. Затем он переходит в состояние с энергией $E_3$, поглощая квант частотой $\nu_2 > \nu_1$. Что происходит при переходе электрона из состояния $E_3$ в состояние $E_1$?

Решение.

1. Дано
Атом водорода, первая орбита ($n=1$)
Постоянная Планка: $h = 6.626 \times 10^{-34}$ Дж·с
Масса электрона: $m_e = 9.11 \times 10^{-31}$ кг
Элементарный заряд: $e = 1.602 \times 10^{-19}$ Кл
Электрическая постоянная: $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}$ Ф/м
Коэффициент в законе Кулона: $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 8.99 \times 10^9$ Н·м²/Кл²

Найти:

Радиус первой орбиты $r_1$.

Решение
Согласно модели атома Бора, электрон движется по круговой орбите вокруг ядра. Кулоновская сила притяжения электрона к ядру сообщает ему центростремительное ускорение. Запишем второй закон Ньютона для электрона:
$F_ц = F_к$
$\frac{m_e v^2}{r} = k \frac{e^2}{r^2}$ (1)
где $v$ - скорость электрона, $r$ - радиус орбиты.

Согласно второму постулату Бора (правилу квантования орбит), момент импульса электрона на стационарной орбите квантуется:
$L = m_e v r = n \hbar$, где $\hbar = \frac{h}{2\pi}$ - приведенная постоянная Планка, а $n$ - главное квантовое число ($n = 1, 2, 3, ...$).
Для первой орбиты $n=1$, следовательно:
$m_e v r_1 = \hbar$ (2)

Выразим скорость $v$ из уравнения (2):
$v = \frac{\hbar}{m_e r_1}$

Подставим это выражение для скорости в уравнение (1) для $r = r_1$:
$\frac{m_e}{r_1} \left( \frac{\hbar}{m_e r_1} \right)^2 = k \frac{e^2}{r_1^2}$
$\frac{m_e \hbar^2}{m_e^2 r_1^3} = k \frac{e^2}{r_1^2}$
$\frac{\hbar^2}{m_e r_1} = k e^2$

Отсюда выразим радиус первой орбиты $r_1$ (боровский радиус):
$r_1 = \frac{\hbar^2}{k m_e e^2}$

Подставим числовые значения констант, используя $\hbar = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2\pi} \approx 1.054 \times 10^{-34}$ Дж·с:
$r_1 = \frac{(1.054 \times 10^{-34})^2}{8.99 \times 10^9 \cdot 9.11 \times 10^{-31} \cdot (1.602 \times 10^{-19})^2}$
$r_1 \approx \frac{1.111 \times 10^{-68}}{8.99 \times 10^9 \cdot 9.11 \times 10^{-31} \cdot 2.566 \times 10^{-38}} \approx \frac{1.111 \times 10^{-68}}{2.10 \times 10^{-58}}$ м
$r_1 \approx 0.529 \times 10^{-10}$ м = $5.29 \times 10^{-11}$ м.

Ответ: Радиус первой орбиты электрона для атома водорода составляет примерно $5.29 \times 10^{-11}$ м.

2.

Решение
Проанализируем описанные в задаче процессы, основываясь на постулатах Бора.
1. Переход из состояния с энергией $E_1$ в состояние с энергией $E_2$. Электрон поглощает квант излучения с частотой $\nu_1$. Поглощение энергии означает переход на более высокий энергетический уровень. Следовательно, $E_2 > E_1$. Согласно второму постулату Бора (правилу частот), энергия поглощенного фотона равна разности энергий стационарных состояний:
$h\nu_1 = E_2 - E_1$

2. Переход в состояние с энергией $E_3$. Электрон, находясь на уровне $E_2$, поглощает еще один квант излучения, с частотой $\nu_2$. Это снова переход на более высокий энергетический уровень, поэтому $E_3 > E_2$. Энергия второго поглощенного фотона равна:
$h\nu_2 = E_3 - E_2$
Таким образом, энергетические уровни упорядочены следующим образом: $E_1 < E_2 < E_3$.

3. Переход из состояния с энергией $E_3$ в состояние с энергией $E_1$. Это переход с более высокого энергетического уровня на более низкий ($E_3 > E_1$). Согласно постулатам Бора, такой переход сопровождается излучением кванта электромагнитной энергии (фотона).

Энергия излучённого фотона $\Delta E$ равна разности энергий начального и конечного состояний:
$\Delta E = E_3 - E_1$
Мы можем выразить эту разность через энергии двух поглощенных ранее фотонов:
$\Delta E = (E_3 - E_2) + (E_2 - E_1) = h\nu_2 + h\nu_1 = h(\nu_1 + \nu_2)$

Если частота излучённого фотона равна $\nu_{изл}$, то его энергия $E_{изл} = h\nu_{изл}$. Приравнивая энергии, получаем:
$h\nu_{изл} = h(\nu_1 + \nu_2)$
$\nu_{изл} = \nu_1 + \nu_2$

Следовательно, при переходе электрона из состояния $E_3$ в состояние $E_1$ происходит излучение фотона, частота которого равна сумме частот двух ранее поглощенных фотонов. Условие $\nu_2 > \nu_1$ указывает на то, что энергетические уровни не являются равноотстоящими, что характерно для атомов.

Ответ: При переходе электрона из состояния с энергией $E_3$ в состояние с энергией $E_1$ происходит излучение кванта света (фотона) с частотой $\nu = \nu_1 + \nu_2$.