Вариант 3, страница 34 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Квантовая физика. Атомная физика. Самостоятельная работа № 1. Квантовые постулаты Бора. Модель атома водорода по Бору - страница 34.

Условие.

Вариант 3

1. Атом водорода излучил фотон, длина волны которого составляет 486 нм. Чему равно изменение энергии электрона?

2. Определите потенциал ионизации атома водорода.

Решение.

1. Атом водорода излучил фотон, длина волны которого составляет 486 нм. Чему равно изменение энергии электрона?

Дано:

Длина волны фотона, $\lambda = 486$ нм

Постоянная Планка, $h \approx 6.63 \cdot 10^{-34}$ Дж·с

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Элементарный заряд, $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Перевод в систему СИ:

$\lambda = 486 \cdot 10^{-9}$ м

Найти:

Изменение энергии электрона, $\Delta E$

Решение:

Когда атом излучает фотон, электрон переходит с более высокого энергетического уровня $E_i$ на более низкий $E_f$. Согласно закону сохранения энергии, энергия излучённого фотона $E_{ф}$ равна разности энергий этих уровней, что и является изменением энергии электрона в атоме.

$\Delta E = E_i - E_f = E_{ф}$

Энергия фотона связана с его длиной волны $\lambda$ формулой Планка:

$E_{ф} = \frac{hc}{\lambda}$

Следовательно, изменение энергии электрона можно рассчитать по этой же формуле. Подставим числовые значения:

$\Delta E = \frac{6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{486 \cdot 10^{-9} \text{ м}} = \frac{19.89 \cdot 10^{-26}}{486 \cdot 10^{-9}} \text{ Дж} \approx 4.09 \cdot 10^{-19}$ Дж

В атомной физике энергию часто выражают в электрон-вольтах (эВ). Для перевода из джоулей в электрон-вольты необходимо разделить полученное значение на величину элементарного заряда $e$:

$\Delta E (\text{эВ}) = \frac{\Delta E (\text{Дж})}{e} = \frac{4.09 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}}{1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} \approx 2.56$ эВ

Так как атом излучил фотон, энергия электрона уменьшилась. Формально изменение энергии ($E_{конечное} - E_{начальное}$) отрицательно, но в контексте вопроса обычно интересует модуль этой величины, равный энергии унесённого фотона.

Ответ: изменение энергии электрона составляет примерно $4.09 \cdot 10^{-19}$ Дж или $2.56$ эВ.

2. Определите потенциал ионизации атома водорода.

Решение:

Потенциал ионизации атома – это минимальная ускоряющая разность потенциалов, которую должен пройти электрон, чтобы приобрести энергию, достаточную для ионизации невозбужденного атома.

Энергия ионизации – это минимальная энергия, которую необходимо сообщить атому, чтобы оторвать от него электрон. Для атома водорода это соответствует переходу электрона с основного энергетического уровня ($n=1$) на бесконечно удаленный уровень ($n \to \infty$), где его энергия принимается за ноль.

Энергетические уровни электрона в атоме водорода описываются формулой Бора:

$E_n = -\frac{E_0}{n^2}$, где $n$ – главное квантовое число ($n=1, 2, 3, ...$), а $E_0$ – энергия ионизации атома водорода из основного состояния, равная примерно $13.6$ эВ.

В основном (невозбужденном) состоянии электрон находится на первом уровне ($n=1$). Его энергия равна:

$E_1 = -\frac{13.6 \text{ эВ}}{1^2} = -13.6$ эВ

Энергия ионизации $E_i$ будет равна разности энергий на бесконечном и первом уровнях:

$E_i = E_{\infty} - E_1 = 0 - (-13.6 \text{ эВ}) = 13.6$ эВ

Потенциал ионизации $\phi_i$ связан с энергией ионизации $E_i$ и элементарным зарядом $e$ следующим соотношением:

$E_i = e \cdot \phi_i$

Отсюда находим потенциал ионизации:

$\phi_i = \frac{E_i}{e}$

Если энергия ионизации выражена в электрон-вольтах, то потенциал ионизации в вольтах численно ей равен:

$\phi_i = \frac{13.6 \text{ эВ}}{e} = 13.6$ В

Ответ: потенциал ионизации атома водорода составляет 13.6 В.