Вариант 5, страница 35 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Квантовая физика. Атомная физика. Самостоятельная работа № 2. Квантовый генератор. Волна де Бройля - страница 35.

Условие.

Вариант 5*

1. Лазер испускает кванты с длиной волны $330 \text{ нм}$. Излучением этого лазера за время $12,5 \cdot 10^3 \text{ с}$ был расплавлен кусок льда и полученная вода нагрета до $100°C$. Начальная температура льда была $0°C$. Определите массу льда. Лазер за 1 с излучает $2 \cdot 10^{20}$ квантов. Считайте, что вещество поглощает 50 % квантов.

2. Определите длину волны и частоту волны, соответствующей частице, масса которой равна массе электрона, а скорость — скорости света.

Решение.

1. Дано:

Длина волны, $\lambda = 330 \text{ нм}$
Время излучения, $t = 12.5 \cdot 10^3 \text{ с}$
Начальная температура льда, $T_1 = 0 \text{ }^\circ\text{C}$
Конечная температура воды, $T_2 = 100 \text{ }^\circ\text{C}$
Число квантов в секунду, $N_0 = 2 \cdot 10^{20} \text{ с}^{-1}$
Коэффициент поглощения, $\eta = 50\% = 0.5$
Постоянная Планка, $h \approx 6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с}$
Скорость света, $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$
Удельная теплота плавления льда, $L = 3.3 \cdot 10^5 \text{ Дж/кг}$
Удельная теплоемкость воды, $c_{в} = 4200 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{°C)}$

Перевод в систему СИ:
$\lambda = 330 \cdot 10^{-9} \text{ м}$
$\Delta T = T_2 - T_1 = 100 \text{ }^\circ\text{C} - 0 \text{ }^\circ\text{C} = 100 \text{ }^\circ\text{C}$

Найти:

Массу льда $m$.

Решение:

1. Найдем энергию одного кванта (фотона), излучаемого лазером, по формуле:
$E_1 = \frac{h \cdot c}{\lambda}$
$E_1 = \frac{6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{330 \cdot 10^{-9} \text{ м}} \approx 6.027 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

2. Определим общее количество энергии, поглощенной веществом. Сначала найдем общее число испущенных квантов за время $t$:
$N = N_0 \cdot t = 2 \cdot 10^{20} \text{ с}^{-1} \cdot 12.5 \cdot 10^3 \text{ с} = 2.5 \cdot 10^{24}$
Энергия, поглощенная веществом, с учетом коэффициента поглощения $\eta$:
$Q_{погл} = \eta \cdot N \cdot E_1 = 0.5 \cdot 2.5 \cdot 10^{24} \cdot 6.027 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 7.53 \cdot 10^5 \text{ Дж}$

3. Эта энергия пошла на плавление льда и нагревание полученной воды до $100 \text{ }^\circ\text{C}$. Количество теплоты, необходимое для этих процессов, равно:
$Q_{нагр} = Q_{пл} + Q_{нагр.воды} = L \cdot m + c_{в} \cdot m \cdot \Delta T = m \cdot (L + c_{в} \cdot \Delta T)$

4. Согласно закону сохранения энергии, поглощенная энергия равна энергии, затраченной на нагрев:
$Q_{погл} = Q_{нагр}$
$Q_{погл} = m \cdot (L + c_{в} \cdot \Delta T)$
Отсюда выразим массу $m$:
$m = \frac{Q_{погл}}{L + c_{в} \cdot \Delta T}$

5. Подставим числовые значения и вычислим массу:
$m = \frac{7.53 \cdot 10^5 \text{ Дж}}{3.3 \cdot 10^5 \text{ Дж/кг} + 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{°C}} \cdot 100 \text{ °C}} = \frac{7.53 \cdot 10^5}{3.3 \cdot 10^5 + 4.2 \cdot 10^5} = \frac{7.53 \cdot 10^5}{7.5 \cdot 10^5} \text{ кг} \approx 1.004 \text{ кг}$

Ответ: масса льда приблизительно равна 1 кг.

2.

Дано:

Масса частицы, $m = m_e$ (масса электрона)
Скорость частицы, $v = c$ (скорость света)
Масса электрона, $m_e \approx 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$
Скорость света, $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$
Постоянная Планка, $h \approx 6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с}$

Найти:

Длину волны $\lambda$ и частоту волны $\nu$.

Решение:

1. Длина волны де Бройля для частицы определяется формулой $\lambda = \frac{h}{p}$, где $p$ — импульс частицы. Физически частица, имеющая массу покоя (как электрон), не может двигаться со скоростью света. Однако, в рамках данной задачи, будем считать, что ее импульс можно рассчитать по формуле $p = m \cdot v$.
$p = m_e \cdot c = (9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) = 2.733 \cdot 10^{-22} \text{ кг}\cdot\text{м/с}$

2. Теперь можем вычислить длину волны:
$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с}}{2.733 \cdot 10^{-22} \text{ кг}\cdot\text{м/с}} \approx 2.426 \cdot 10^{-12} \text{ м}$
Эта величина известна как комптоновская длина волны электрона.

3. Частота волны связана с ее длиной и скоростью распространения соотношением $v = \lambda \cdot \nu$. Поскольку скорость частицы равна скорости света $c$, получаем:
$\nu = \frac{c}{\lambda}$

4. Подставим значения и найдем частоту:
$\nu = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{2.426 \cdot 10^{-12} \text{ м}} \approx 1.236 \cdot 10^{20} \text{ Гц}$

Ответ: длина волны $\lambda \approx 2.43 \cdot 10^{-12} \text{ м}$ (или 2.43 пм), частота $\nu \approx 1.24 \cdot 10^{20} \text{ Гц}$.