Номер 13, страница 58 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Законы постоянного тока - номер 13, страница 58.

Условие.

13. Два вольтметра соединены последовательно и подключены к источнику постоянного напряжения с внутренним сопротивлением $r$. Показания первого вольтметра 5,5 В, второго — 3,6 В. Если второй вольтметр закоротить, то напряжение на первом вольтметре станет 8,5 В. Чему равна ЭДС источника?

Решение.

Дано:

Показание первого вольтметра в первом случае: $U_1 = 5,5$ В

Показание второго вольтметра в первом случае: $U_2 = 3,6$ В

Показание первого вольтметра во втором случае: $U'_1 = 8,5$ В

Найти:

ЭДС источника: $\mathcal{E}$

Решение:

Обозначим ЭДС источника как $\mathcal{E}$, его внутреннее сопротивление как $r$, а внутренние сопротивления первого и второго вольтметров как $R_1$ и $R_2$ соответственно. Вольтметр, по сути, является резистором с очень большим сопротивлением.

1. Первый случай: вольтметры соединены последовательно.

При последовательном соединении общее сопротивление внешней цепи равно сумме сопротивлений вольтметров: $R_{общ1} = R_1 + R_2$.

Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока в цепи равна:

$I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_1 + R_2 + r}$

Напряжения на вольтметрах, которые они и показывают, определяются по закону Ома для участка цепи:

$U_1 = I_1 \cdot R_1 = 5,5$ В

$U_2 = I_1 \cdot R_2 = 3,6$ В

Напряжение на всей внешней цепи равно сумме напряжений на последовательно соединенных элементах: $U_{внеш1} = U_1 + U_2 = 5,5 + 3,6 = 9,1$ В.

ЭДС источника связана с напряжением на внешней цепи и падением напряжения на внутреннем сопротивлении: $\mathcal{E} = U_{внеш1} + I_1 r$.

Выразим ток $I_1$ через показания первого вольтметра $U_1$ и его сопротивление $R_1$: $I_1 = \frac{U_1}{R_1} = \frac{5,5}{R_1}$.

Подставим все в формулу для ЭДС:

$\mathcal{E} = 9,1 + \frac{5,5}{R_1} r$ (1)

2. Второй случай: второй вольтметр закорочен.

Когда второй вольтметр закоротили, его сопротивление в цепи стало равным нулю. Теперь внешнее сопротивление цепи равно только сопротивлению первого вольтметра: $R_{общ2} = R_1$.

Сила тока в цепи стала другой:

$I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_1 + r}$

Новое показание первого вольтметра (и напряжение на всей внешней цепи) равно $U'_1 = I_2 \cdot R_1 = 8,5$ В.

Запишем закон Ома для полной цепи для этого случая: $\mathcal{E} = U'_1 + I_2 r$.

Выразим ток $I_2$ через $U'_1$ и $R_1$: $I_2 = \frac{U'_1}{R_1} = \frac{8,5}{R_1}$.

Подставим в формулу для ЭДС:

$\mathcal{E} = 8,5 + \frac{8,5}{R_1} r$ (2)

3. Нахождение ЭДС.

Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными: $\mathcal{E}$ и отношением $\frac{r}{R_1}$. Приравняем правые части уравнений:

$9,1 + \frac{5,5}{R_1} r = 8,5 + \frac{8,5}{R_1} r$

Сгруппируем слагаемые, чтобы найти отношение $\frac{r}{R_1}$:

$9,1 - 8,5 = \frac{8,5 r}{R_1} - \frac{5,5 r}{R_1}$

$0,6 = \frac{(8,5 - 5,5)r}{R_1}$

$0,6 = \frac{3r}{R_1}$

Отсюда находим отношение: $\frac{r}{R_1} = \frac{0,6}{3} = 0,2$.

Теперь подставим найденное значение отношения в любое из уравнений для ЭДС, например, во второе:

$\mathcal{E} = 8,5 + 8,5 \cdot (\frac{r}{R_1}) = 8,5 + 8,5 \cdot 0,2$

$\mathcal{E} = 8,5 + 1,7 = 10,2$ В.

Ответ: ЭДС источника равна $10,2$ В.