Номер 5, страница 60 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Магнитный поток. ЭДС индукции. Закон Фарадея. Явление самоиндукции - номер 5, страница 60.

Условие.

5. Из двух одинаковых кусков проволоки изготовили квадрат и правильный треугольник. После того как включили переменное магнитное поле, вектор индукции которого перпендикулярен плоскости фигур, оказалось, что электрический ток в квадратной рамке составил 0,4 А. Какой была сила тока в треугольной рамке?

Решение.

Дано:

$I_к = 0,4$ А (сила тока в квадратной рамке)
Рамки изготовлены из двух одинаковых кусков проволоки, что означает их периметры $P$ и сопротивления $R$ равны.

Найти:

$I_т$ — сила тока в треугольной рамке.

Решение:

При изменении магнитного поля в замкнутом проводящем контуре возникает индукционный ток. ЭДС индукции $\mathcal{E}$ определяется законом Фарадея:

$\mathcal{E} = - \frac{d\Phi_B}{dt}$

где $\Phi_B$ — магнитный поток. Магнитный поток через контур площадью $S$ в магнитном поле с индукцией $B$, перпендикулярной плоскости контура, равен $\Phi_B = B \cdot S$.

Тогда ЭДС индукции можно выразить как:

$\mathcal{E} = - S \frac{dB}{dt}$

Согласно закону Ома для замкнутой цепи, сила индукционного тока $I$ равна:

$I = \frac{|\mathcal{E}|}{R} = \frac{S}{R} \left| \frac{dB}{dt} \right|$

По условию, рамки изготовлены из одинаковых кусков проволоки, поэтому их сопротивления $R$ одинаковы. Обе рамки находятся в одном и том же переменном магнитном поле, поэтому величина $\left| \frac{dB}{dt} \right|$ для них одинакова в любой момент времени.

Из этого следует, что сила тока в рамке прямо пропорциональна ее площади $S$:

$I \propto S$

Мы можем составить пропорцию для токов в квадратной ($I_к$) и треугольной ($I_т$) рамках и их площадей ($S_к$ и $S_т$):

$\frac{I_т}{I_к} = \frac{S_т}{S_к}$

Выразим площади фигур через длину проволоки $L$.

1. Квадрат:
Периметр квадрата $P_к = 4a_к = L$, где $a_к$ — сторона квадрата. Отсюда $a_к = \frac{L}{4}$.
Площадь квадрата: $S_к = a_к^2 = \left(\frac{L}{4}\right)^2 = \frac{L^2}{16}$.

2. Правильный треугольник:
Периметр треугольника $P_т = 3a_т = L$, где $a_т$ — сторона треугольника. Отсюда $a_т = \frac{L}{3}$.
Площадь правильного треугольника: $S_т = \frac{a_т^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(\frac{L}{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{L^2}{9}\sqrt{3}}{4} = \frac{L^2\sqrt{3}}{36}$.

Теперь найдем отношение площадей:

$\frac{S_т}{S_к} = \frac{\frac{L^2\sqrt{3}}{36}}{\frac{L^2}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{36} \cdot 16 = \frac{16\sqrt{3}}{36} = \frac{4\sqrt{3}}{9}$.

Теперь мы можем найти силу тока в треугольной рамке:

$I_т = I_к \cdot \frac{S_т}{S_к} = 0,4 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{9} = \frac{1,6\sqrt{3}}{9}$ А.

Вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{3} \approx 1,732$:

$I_т \approx \frac{1,6 \cdot 1,732}{9} \approx \frac{2,7712}{9} \approx 0,3079$ А.

Округляя результат, получаем $I_т \approx 0,31$ А.

Ответ: сила тока в треугольной рамке была $\frac{1,6\sqrt{3}}{9}$ А, что приблизительно равно 0,31 А.