Номер 6, страница 60 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Магнитный поток. ЭДС индукции. Закон Фарадея. Явление самоиндукции - номер 6, страница 60.

Условие.

6. Проволочный виток площадью $400 \text{ см}^2$ расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции, изменяющейся по закону $(2 + 5t) \cdot 10^{-2} \text{ (Тл)}$. Виток разрезали и в месте разреза подключили конденсатор ёмкостью $10 \text{ мкФ}$. Определите максимальный заряд и энергию конденсатора.

Решение.

Дано:

$S = 400 \text{ см}^2 = 400 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 4 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2$
$B(t) = (2 + 5t) \cdot 10^{-2} \text{ Тл}$
$C = 10 \text{ мкФ} = 10 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 10^{-5} \text{ Ф}$

Найти:

$q_{max} - ?$
$W - ?$

Решение:

При изменении магнитного потока, пронизывающего проволочный виток, в нем возникает ЭДС индукции. Магнитный поток $\Phi$ определяется по формуле:

$\Phi = B \cdot S \cdot \cos \alpha$

Где $B$ – магнитная индукция, $S$ – площадь витка, а $\alpha$ – угол между нормалью к плоскости витка и вектором магнитной индукции. По условию, виток расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции, следовательно, $\alpha = 0^\circ$ и $\cos \alpha = 1$.

Тогда магнитный поток, зависящий от времени, равен:

$\Phi(t) = B(t) \cdot S = (2 + 5t) \cdot 10^{-2} \cdot S$

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции $\mathcal{E}_i$ равна скорости изменения магнитного потока, взятой со знаком минус:

$\mathcal{E}_i = - \frac{d\Phi}{dt} = - \frac{d}{dt} [(2 + 5t) \cdot 10^{-2} \cdot S]$

Поскольку площадь $S$ постоянна, выносим ее за знак производной:

$\mathcal{E}_i = - S \cdot 10^{-2} \cdot \frac{d}{dt}(2 + 5t) = - S \cdot 10^{-2} \cdot 5 = -5S \cdot 10^{-2}$

Величина ЭДС индукции постоянна, так как магнитная индукция изменяется по линейному закону. Найдем ее модуль:

$|\mathcal{E}_i| = 5 \cdot S \cdot 10^{-2} = 5 \cdot (4 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2) \cdot 10^{-2} = 20 \cdot 10^{-4} \text{ В} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ В}$

Когда к разрезу витка подключают конденсатор, он заряжается до напряжения $U_C$, равного ЭДС индукции в контуре:

$U_C = |\mathcal{E}_i| = 2 \cdot 10^{-3} \text{ В}$

Максимальный заряд конденсатора

Максимальный заряд на конденсаторе определяется формулой:

$q_{max} = C \cdot U_C = 10^{-5} \text{ Ф} \cdot 2 \cdot 10^{-3} \text{ В} = 2 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}$

Ответ: максимальный заряд конденсатора равен $2 \cdot 10^{-8}$ Кл (или 20 нКл).

Энергия конденсатора

Энергия, запасенная в конденсаторе, вычисляется по формуле:

$W = \frac{C \cdot U_C^2}{2} = \frac{10^{-5} \text{ Ф} \cdot (2 \cdot 10^{-3} \text{ В})^2}{2} = \frac{10^{-5} \cdot 4 \cdot 10^{-6}}{2} \text{ Дж} = 2 \cdot 10^{-11} \text{ Дж}$

Ответ: энергия конденсатора равна $2 \cdot 10^{-11}$ Дж (или 20 пДж).