Номер 1.132, страница 23 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Работа и мощность постоянного тока - номер 1.132, страница 23.

Условие.

1.132*. При включении одного нагревателя вода закипает через 600 с, другого — через 300 с. За какое время оба нагревателя нагреют до кипения то же количество воды, если их соединить:

а) последовательно;

б) параллельно?

Решение.

Дано:

Время закипания воды первым нагревателем, $t_1 = 600$ с

Время закипания воды вторым нагревателем, $t_2 = 300$ с

Все данные уже представлены в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

$t_{посл}$ — время закипания воды при последовательном соединении нагревателей.

$t_{пар}$ — время закипания воды при параллельном соединении нагревателей.

Решение:

Обозначим количество теплоты, необходимое для нагрева воды до кипения, как $\text{Q}$. Поскольку масса воды и её начальная температура в обоих случаях одинаковы, величина $\text{Q}$ является постоянной.

Согласно закону Джоуля-Ленца, количество теплоты, выделяемое нагревателем, определяется по формуле $Q = P \cdot t$, где $\text{P}$ – мощность нагревателя, а $\text{t}$ – время его работы. Мощность электрического нагревателя связана с напряжением в сети $\text{U}$ и его сопротивлением $\text{R}$ формулой $P = \frac{U^2}{R}$. Будем считать, что напряжение в сети $\text{U}$ постоянно.

Таким образом, количество теплоты можно выразить как $Q = \frac{U^2}{R}t$.

Для первого нагревателя справедливо соотношение: $Q = \frac{U^2}{R_1}t_1$. Отсюда можно выразить его сопротивление: $R_1 = \frac{U^2 t_1}{Q}$.

Аналогично для второго нагревателя: $Q = \frac{U^2}{R_2}t_2$, и его сопротивление: $R_2 = \frac{U^2 t_2}{Q}$.

а) последовательно

При последовательном соединении общее сопротивление цепи равно сумме сопротивлений её элементов:

$R_{посл} = R_1 + R_2$

Подставим в эту формулу ранее найденные выражения для сопротивлений $R_1$ и $R_2$:

$R_{посл} = \frac{U^2 t_1}{Q} + \frac{U^2 t_2}{Q} = \frac{U^2}{Q}(t_1 + t_2)$

Время $t_{посл}$, за которое вода закипит при таком соединении, определяется из основного соотношения: $Q = \frac{U^2}{R_{посл}}t_{посл}$.

Выразим из него искомое время $t_{посл}$:

$t_{посл} = \frac{Q \cdot R_{посл}}{U^2} = \frac{Q}{U^2} \cdot \frac{U^2}{Q}(t_1 + t_2) = t_1 + t_2$

Теперь произведем вычисление:

$t_{посл} = 600 \text{ с} + 300 \text{ с} = 900 \text{ с}$

Ответ: при последовательном соединении вода закипит через 900 с.

б) параллельно

При параллельном соединении напряжение на обоих нагревателях одинаково и равно напряжению сети $\text{U}$. Общая мощность, выделяемая двумя нагревателями, равна сумме их индивидуальных мощностей:

$P_{пар} = P_1 + P_2$

Мощности каждого из нагревателей можно выразить через $\text{Q}$ и время закипания: $P_1 = Q/t_1$ и $P_2 = Q/t_2$.

Тогда общая мощность будет равна:

$P_{пар} = \frac{Q}{t_1} + \frac{Q}{t_2} = Q\left(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}\right)$

Время $t_{пар}$, за которое вода закипит при параллельном соединении, найдём из формулы $Q = P_{пар} \cdot t_{пар}$.

Выразим искомое время $t_{пар}$:

$t_{пар} = \frac{Q}{P_{пар}} = \frac{Q}{Q\left(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}\right)} = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}} = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2}$

Теперь произведем вычисление:

$t_{пар} = \frac{600 \text{ с} \cdot 300 \text{ с}}{600 \text{ с} + 300 \text{ с}} = \frac{180000 \text{ с}^2}{900 \text{ с}} = 200 \text{ с}$

Ответ: при параллельном соединении вода закипит через 200 с.