Номер 1.133, страница 23 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Работа и мощность постоянного тока - номер 1.133, страница 23.

Условие.

1.133*. Электроплитка имеет три секции одинакового сопротивления. Если все три секции соединены параллельно, то вода в чайнике закипает через 6 мин. Через какое время закипает вода той же массы в чайнике при разных соединениях секций электроплитки, показанных на рисунке 1.54?

Рис. 1.54

Решение.

Дано:

Сопротивление каждой секции: $R_1 = R_2 = R_3 = R$

Время закипания при параллельном соединении трех секций: $t_0 = 6$ мин

$t_0 = 6 \cdot 60 = 360$ с

Найти:

$t_a, t_b, t_c$ - время закипания для схем a, б, в.

Решение:

Количество теплоты $\text{Q}$, необходимое для нагревания и закипания одинаковой массы воды, во всех случаях одно и то же. Это количество теплоты выделяется электроплиткой за счет работы электрического тока и по закону Джоуля-Ленца равно $Q = P \cdot t$, где $\text{P}$ - мощность плитки, а $\text{t}$ - время работы.

Мощность электрического тока выражается формулой $P = \frac{U^2}{R_{общ}}$, где $\text{U}$ - напряжение в сети (оно постоянно), а $R_{общ}$ - общее сопротивление цепи.

Таким образом, $Q = \frac{U^2}{R_{общ}} \cdot t$. Поскольку $\text{Q}$ и $\text{U}$ постоянны, можно записать соотношение: $\frac{t}{R_{общ}} = \text{const}$.

Это означает, что время закипания прямо пропорционально общему сопротивлению цепи: $t \propto R_{общ}$. Мы можем использовать это для нахождения времени в разных случаях, сравнивая их с исходным случаем.

Сначала найдем общее сопротивление для исходного случая (все три секции соединены параллельно), обозначим его $R_0$:

$\frac{1}{R_0} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{3}{R}$

Отсюда $R_0 = \frac{R}{3}$. Время закипания для этого случая $t_0 = 6$ мин.

Теперь рассчитаем сопротивление и время для каждой из предложенных схем.

a

В схеме 'a' все три секции соединены последовательно. Общее сопротивление $R_a$ равно сумме сопротивлений:

$R_a = R + R + R = 3R$

Найдем время закипания $t_a$ из пропорции $\frac{t_a}{R_a} = \frac{t_0}{R_0}$:

$t_a = t_0 \frac{R_a}{R_0} = 6 \text{ мин} \cdot \frac{3R}{R/3} = 6 \text{ мин} \cdot 9 = 54$ мин.

Ответ: 54 мин.

б

В схеме 'б' две секции соединены параллельно, и к ним последовательно подключена третья. Сначала найдем сопротивление параллельного участка $R_{пар}$:

$\frac{1}{R_{пар}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{2}{R} \implies R_{пар} = \frac{R}{2}$

Общее сопротивление цепи $R_б$ равно сумме сопротивления третьей секции и параллельного участка:

$R_б = R + R_{пар} = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$

Найдем время закипания $t_б$:

$t_б = t_0 \frac{R_б}{R_0} = 6 \text{ мин} \cdot \frac{3R/2}{R/3} = 6 \text{ мин} \cdot \frac{3R}{2} \cdot \frac{3}{R} = 6 \text{ мин} \cdot \frac{9}{2} = 27$ мин.

Ответ: 27 мин.

в

В схеме 'в' две секции соединены последовательно, и эта группа подключена параллельно третьей секции. Сопротивление последовательного участка $R_{пос}$:

$R_{пос} = R + R = 2R$

Общее сопротивление цепи $R_в$ найдем как сопротивление параллельного соединения $R_{пос}$ и $\text{R}$:

$\frac{1}{R_в} = \frac{1}{R_{пос}} + \frac{1}{R} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{R} = \frac{1+2}{2R} = \frac{3}{2R}$

Отсюда $R_в = \frac{2R}{3}$.

Найдем время закипания $t_в$:

$t_в = t_0 \frac{R_в}{R_0} = 6 \text{ мин} \cdot \frac{2R/3}{R/3} = 6 \text{ мин} \cdot 2 = 12$ мин.

Ответ: 12 мин.