Номер 1.138, страница 24 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Работа и мощность постоянного тока - номер 1.138, страница 24.

Условие.

1.138*. Четыре одинаковые лампы соединены так, как показано на рисунке 1.58, и подключены к источнику постоянного напряжения. Во сколько раз изменится мощность, которая выделяется на лампе Л4, если:

а) лампу Л2 закоротить;

б) лампа Л3 перегорит?

Решение.

Поскольку рисунок 1.58 не предоставлен, будем исходить из наиболее распространенной схемы для подобных задач: лампы Л1 и Л2 соединены последовательно; к этой паре параллельно подключена лампа Л3; вся эта группа (Л1, Л2, Л3) соединена последовательно с лампой Л4.

Дано:

Сопротивление каждой лампы: $R_1 = R_2 = R_3 = R_4 = R$

Напряжение источника: $\text{U}$

Найти:

$k_a = \frac{P'_{4}}{P_4}$ - отношение мощности на Л4 после закорачивания Л2 к начальной.

$k_b = \frac{P''_{4}}{P_4}$ - отношение мощности на Л4 после перегорания Л3 к начальной.

Решение:

Мощность, выделяемая на лампе, вычисляется по формуле $P = I^2 R$, где $\text{I}$ - сила тока, протекающего через лампу. Чтобы найти, во сколько раз изменится мощность, нужно найти отношение токов в квадрате до и после изменений, так как сопротивление $\text{R}$ лампы Л4 не меняется: $\frac{P_{новая}}{P_{старая}} = \frac{I_{новая}^2 R}{I_{старая}^2 R} = \left(\frac{I_{новая}}{I_{старая}}\right)^2$.

Сначала найдем силу тока $I_4$ через лампу Л4 в исходном состоянии.

1. Сопротивление последовательно соединенных ламп Л1 и Л2: $R_{12} = R + R = 2R$.

2. Лампы Л1 и Л2 подключены параллельно лампе Л3. Найдем общее сопротивление этого параллельного участка $R_{123}$:

$\frac{1}{R_{123}} = \frac{1}{R_{12}} + \frac{1}{R_3} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{R} = \frac{1+2}{2R} = \frac{3}{2R} \implies R_{123} = \frac{2R}{3}$

3. Участок $R_{123}$ соединен последовательно с лампой Л4. Общее сопротивление цепи:

$R_{общ} = R_{123} + R_4 = \frac{2R}{3} + R = \frac{5R}{3}$

4. Ток через лампу Л4 равен общему току в цепи:

$I_4 = I_{общ} = \frac{U}{R_{общ}} = \frac{U}{5R/3} = \frac{3U}{5R}$

5. Начальная мощность на лампе Л4:

$P_4 = I_4^2 R = \left(\frac{3U}{5R}\right)^2 R = \frac{9U^2}{25R}$

а) лампу Л2 закоротить

Если лампу Л2 закоротить, ее сопротивление станет равным нулю. Схема изменится.

1. Новое сопротивление ветви с лампами Л1 и Л2: $R'_{12} = R_1 + 0 = R$.

2. Новое сопротивление параллельного участка $R'_{123}$:

$\frac{1}{R'_{123}} = \frac{1}{R'_{12}} + \frac{1}{R_3} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{2}{R} \implies R'_{123} = \frac{R}{2}$

3. Новое общее сопротивление цепи:

$R'_{общ} = R'_{123} + R_4 = \frac{R}{2} + R = \frac{3R}{2}$

4. Новый ток через лампу Л4:

$I'_4 = \frac{U}{R'_{общ}} = \frac{U}{3R/2} = \frac{2U}{3R}$

5. Новая мощность на лампе Л4:

$P'_4 = (I'_4)^2 R = \left(\frac{2U}{3R}\right)^2 R = \frac{4U^2}{9R}$

6. Найдем отношение мощностей:

$k_a = \frac{P'_4}{P_4} = \frac{4U^2/9R}{9U^2/25R} = \frac{4}{9} \cdot \frac{25}{9} = \frac{100}{81}$

Ответ: Мощность увеличится в $\frac{100}{81} \approx 1,23$ раза.

б) лампа Л3 перегорит

Если лампа Л3 перегорит, ее ветвь разрывается, и ток через нее больше не течет. Цепь становится проще.

1. Теперь лампы Л1, Л2 и Л4 соединены последовательно.

2. Новое общее сопротивление цепи:

$R''_{общ} = R_1 + R_2 + R_4 = R + R + R = 3R$

3. Новый ток через лампу Л4:

$I''_4 = \frac{U}{R''_{общ}} = \frac{U}{3R}$

4. Новая мощность на лампе Л4:

$P''_4 = (I''_4)^2 R = \left(\frac{U}{3R}\right)^2 R = \frac{U^2}{9R}$

5. Найдем отношение мощностей:

$k_b = \frac{P''_4}{P_4} = \frac{U^2/9R}{9U^2/25R} = \frac{1}{9} \cdot \frac{25}{9} = \frac{25}{81}$

Так как отношение меньше 1, мощность уменьшилась. Чтобы ответить на вопрос "во сколько раз", найдем обратное отношение: $\frac{P_4}{P''_4} = \frac{81}{25} = 3,24$.

Ответ: Мощность уменьшится в $\frac{81}{25} = 3,24$ раза.