Номер 1.142, страница 24 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Работа и мощность постоянного тока - номер 1.142, страница 24.

Условие.

1.142*. Три тонкие проволоки одинаковых размеров — железная, медная и алюминиевая — взяты при температуре 0 °С. Какая из проволок перегорит первой после подключения к источнику высокого напряжения, если их соединить:

а) последовательно;

б) параллельно?

Температурной зависимостью сопротивления пренебречь.

Решение.

Проволока перегорит (расплавится), когда ее температура достигнет температуры плавления. Первой перегорит та проволока, которая нагреется до своей температуры плавления за наименьшее время. Время нагрева зависит от мощности тепловыделения и количества теплоты, необходимого для нагрева.

Количество теплоты, необходимое для нагрева проволоки от начальной температуры $t_0$ до температуры плавления $t_m$, определяется формулой: $Q = c \cdot m \cdot (t_m - t_0)$, где $\text{c}$ - удельная теплоемкость, а $\text{m}$ - масса.

Масса проволоки: $m = d \cdot V = d \cdot L \cdot S$, где $\text{d}$ - плотность, $\text{V}$ - объем, $\text{L}$ - длина, $\text{S}$ - площадь поперечного сечения.

Так как по условию все проволоки имеют одинаковые размеры, их длины $\text{L}$ и площади сечения $\text{S}$ равны.

Сопротивление проволоки: $R = \rho \frac{L}{S}$, где $\rho$ - удельное сопротивление материала.

Мощность тепловыделения (по закону Джоуля-Ленца): $P = I^2 R$ или $P = \frac{U^2}{R}$.

Пренебрегая теплоотдачей в окружающую среду (что оправдано при быстром процессе с источником высокого напряжения), время $\tau$, необходимое для нагрева проволоки до температуры плавления, можно найти из условия $P \cdot \tau = Q$.

Отсюда, $\tau = \frac{Q}{P} = \frac{c \cdot m \cdot (t_m - t_0)}{P} = \frac{c \cdot d \cdot L \cdot S \cdot (t_m - t_0)}{P}$.

Первой перегорит проволока, для которой время $\tau$ минимально.

Дано:
Проволоки: железная (Fe), медная (Cu), алюминиевая (Al).
$L_{Fe} = L_{Cu} = L_{Al} = L$
$S_{Fe} = S_{Cu} = S_{Al} = S$
$t_0 = 0 \text{ °C}$
Физические свойства материалов (справочные данные):
Железо (Fe):
Удельное сопротивление $\rho_{Fe} \approx 9.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$
Плотность $d_{Fe} \approx 7870 \text{ кг/м³}$
Удельная теплоемкость $c_{Fe} \approx 450 \text{ Дж/(кг·°C)}$
Температура плавления $t_{m,Fe} \approx 1538 \text{ °C}$
Медь (Cu):
$\rho_{Cu} \approx 1.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$
$d_{Cu} \approx 8960 \text{ кг/м³}$
$c_{Cu} \approx 385 \text{ Дж/(кг·°C)}$
$t_{m,Cu} \approx 1084 \text{ °C}$
Алюминий (Al):
$\rho_{Al} \approx 2.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$
$d_{Al} \approx 2700 \text{ кг/м³}$
$c_{Al} \approx 900 \text{ Дж/(кг·°C)}$
$t_{m,Al} \approx 660 \text{ °C}$

Найти:
Какая проволока перегорит первой при соединении: а) последовательно; б) параллельно.

Решение:

а) последовательно

При последовательном соединении сила тока $\text{I}$ во всех проволоках одинакова. Мощность тепловыделения на каждой проволоке равна $P = I^2 R$.

Так как $\text{I}$, $\text{L}$ и $\text{S}$ одинаковы для всех проволок, мощность прямо пропорциональна удельному сопротивлению: $P \propto R \propto \rho$.

Сравнивая удельные сопротивления: $\rho_{Fe} > \rho_{Al} > \rho_{Cu}$.

Следовательно, наибольшая мощность будет выделяться в железной проволоке.

Время нагрева до температуры плавления: $\tau = \frac{c d L S (t_m - t_0)}{I^2 R} = \frac{c d L S (t_m - t_0)}{I^2 \rho L/S} = \frac{c d S^2 (t_m - t_0)}{I^2 \rho}$.

Чтобы определить, какая проволока перегорит первой, нужно сравнить величину $K_s = \frac{c \cdot d \cdot t_m}{\rho}$ для каждого материала (так как $t_0=0 \text{ °C}$, а $S^2/I^2$ - общий множитель). Чем меньше эта величина, тем быстрее проволока достигнет температуры плавления.

Для железа: $K_{s,Fe} \propto \frac{450 \cdot 7870 \cdot 1538}{9.7 \cdot 10^{-8}} \approx 5.6 \cdot 10^{17}$.

Для меди: $K_{s,Cu} \propto \frac{385 \cdot 8960 \cdot 1084}{1.7 \cdot 10^{-8}} \approx 2.2 \cdot 10^{18}$.

Для алюминия: $K_{s,Al} \propto \frac{900 \cdot 2700 \cdot 660}{2.7 \cdot 10^{-8}} \approx 5.9 \cdot 10^{17}$.

Наименьшее значение у железа: $K_{s,Fe} < K_{s,Al} < K_{s,Cu}$. Следовательно, железная проволока нагреется до своей температуры плавления быстрее всех.

Ответ: При последовательном соединении первой перегорит железная проволока.

б) параллельно

При параллельном соединении напряжение $\text{U}$ на всех проволоках одинаково. Мощность тепловыделения на каждой проволоке равна $P = \frac{U^2}{R}$.

Так как $\text{U}$, $\text{L}$ и $\text{S}$ одинаковы, мощность обратно пропорциональна удельному сопротивлению: $P \propto \frac{1}{R} \propto \frac{1}{\rho}$.

Сравнивая удельные сопротивления: $\rho_{Cu} < \rho_{Al} < \rho_{Fe}$.

Следовательно, наибольшая мощность будет выделяться в медной проволоке, так как у нее наименьшее сопротивление.

Время нагрева до температуры плавления: $\tau = \frac{c d L S (t_m - t_0)}{P} = \frac{c d L S (t_m - t_0)}{U^2/R} = \frac{c d L S (t_m - t_0) (\rho L/S)}{U^2} = \frac{c d \rho L^2 (t_m - t_0)}{U^2}$.

Чтобы определить, какая проволока перегорит первой, нужно сравнить величину $K_p = c \cdot d \cdot \rho \cdot t_m$ для каждого материала (так как $t_0=0 \text{ °C}$, а $L^2/U^2$ - общий множитель). Чем меньше эта величина, тем быстрее проволока достигнет температуры плавления.

Для железа: $K_{p,Fe} \propto 450 \cdot 7870 \cdot (9.7 \cdot 10^{-8}) \cdot 1538 \approx 5.3 \cdot 10^5$.

Для меди: $K_{p,Cu} \propto 385 \cdot 8960 \cdot (1.7 \cdot 10^{-8}) \cdot 1084 \approx 6.4 \cdot 10^4$.

Для алюминия: $K_{p,Al} \propto 900 \cdot 2700 \cdot (2.7 \cdot 10^{-8}) \cdot 660 \approx 4.3 \cdot 10^4$.

Наименьшее значение у алюминия: $K_{p,Al} < K_{p,Cu} < K_{p,Fe}$. Следовательно, алюминиевая проволока нагреется до своей температуры плавления быстрее всех. В данном случае ее значительно более низкая температура плавления оказывается решающим фактором.

Ответ: При параллельном соединении первой перегорит алюминиевая проволока.