Номер 1.148, страница 25 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Работа и мощность постоянного тока - номер 1.148, страница 25.

Условие.

1.148*. В сеть, проложенную медным проводом с сечением 2 мм², поставлен предохранитель из свинцовой проволоки сечением 0,2 мм². При коротком замыкании сила тока достигла 30 А. Температура проводов до замыкания 20 °С. Определите:

а) через какое время после короткого замыкания начнёт плавиться предохранитель;

б) на сколько нагреются медные провода.

Решение.

Дано:

Сечение медного провода, $S_{м} = 2 \text{ мм}^2$

Сечение свинцового предохранителя, $S_{св} = 0,2 \text{ мм}^2$

Сила тока при коротком замыкании, $I = 30 \text{ А}$

Начальная температура, $T_0 = 20 \text{ °С}$

Удельное сопротивление меди, $\rho_{м} = 0,017 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Удельное сопротивление свинца, $\rho_{св} = 0,22 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Удельная теплоемкость меди, $c_{м} = 385 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Удельная теплоемкость свинца, $c_{св} = 130 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Плотность меди, $D_{м} = 8960 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Плотность свинца, $D_{св} = 11340 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Температура плавления свинца, $T_{пл} = 327,5 \text{ °С}$

Перевод в систему СИ:

$S_{м} = 2 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

$S_{св} = 0,2 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

Изменение температуры свинцового предохранителя до плавления: $\Delta T_{св} = T_{пл} - T_0 = 327,5 - 20 = 307,5 \text{ °С}$

Найти:

а) $\text{t}$ — время, через которое начнёт плавиться предохранитель.

б) $\Delta T_{м}$ — на сколько нагреются медные провода.

Решение

При коротком замыкании вся выделившаяся в проводнике теплота, согласно закону Джоуля-Ленца, идет на его нагревание. Пренебрегаем теплообменом с окружающей средой, так как процесс очень быстрый.Количество теплоты, выделившееся в проводнике: $Q_{ген} = I^2Rt$.Количество теплоты, пошедшее на нагревание проводника: $Q_{нагр} = cm\Delta T$.Приравниваем эти два выражения: $I^2Rt = cm\Delta T$.

Сопротивление $\text{R}$ и массу $\text{m}$ проводника длиной $\text{L}$ и сечением $\text{S}$ можно выразить через его удельное сопротивление $\rho$ и плотность $\text{D}$:$R = \rho \frac{L}{S}$$m = D \cdot V = D \cdot L \cdot S$

Подставим эти выражения в уравнение теплового баланса:$I^2 \left( \rho \frac{L}{S} \right) t = c (DLS) \Delta T$Длина проводника $\text{L}$ сокращается:$I^2 \frac{\rho}{S} t = cDS\Delta T$

а) через какое время после короткого замыкания начнёт плавиться предохранитель

Из полученного уравнения выразим время $\text{t}$ для свинцового предохранителя:$t = \frac{c_{св} D_{св} S_{св}^2 \Delta T_{св}}{I^2 \rho_{св}}$Подставим числовые значения:$t = \frac{130 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 11340 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot (0,2 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2)^2 \cdot 307,5 \text{ °С}}{(30 \text{ А})^2 \cdot 0,22 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}}$$t = \frac{130 \cdot 11340 \cdot 0,04 \cdot 10^{-12} \cdot 307,5}{900 \cdot 0,22 \cdot 10^{-6}} = \frac{18131940 \cdot 10^{-12}}{198 \cdot 10^{-6}} \approx 0,0916 \text{ с}$

Ответ: предохранитель начнёт плавиться примерно через $0,092 \text{ с}$.

б) на сколько нагреются медные провода

За время $\text{t}$, найденное в пункте а), медные провода нагреются на температуру $\Delta T_{м}$. Выразим $\Delta T_{м}$ из уравнения теплового баланса для медного провода:$\Delta T_{м} = \frac{I^2 \rho_{м} t}{c_{м} D_{м} S_{м}^2}$Подставим числовые значения:$\Delta T_{м} = \frac{(30 \text{ А})^2 \cdot 0,017 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot 0,0916 \text{ с}}{385 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 8960 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot (2 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2)^2}$$\Delta T_{м} = \frac{900 \cdot 0,017 \cdot 10^{-6} \cdot 0,0916}{385 \cdot 8960 \cdot 4 \cdot 10^{-12}} = \frac{1,401 \cdot 10^{-6}}{13801600 \cdot 10^{-12}} = \frac{1,401 \cdot 10^{-6}}{1,38 \cdot 10^{-5}} \approx 0,1015 \text{ °С}$

Ответ: медные провода нагреются примерно на $0,1 \text{ °С}$.