Номер 1.147, страница 25 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Работа и мощность постоянного тока - номер 1.147, страница 25.

Условие.

1.147. На сколько нагреется медный стержень, если по нему в течение $0,5 \text{ с}$ будет проходить ток плотностью $9 \text{ А/мм}^2$? Потерями энергии можно пренебречь.

Решение.

Дано:

Материал стержня - медь

Продолжительность прохождения тока, $t = 0.5$ с

Плотность тока, $j = 9$ А/мм²

Потерями энергии можно пренебречь.

Переведем данные в систему СИ:

Плотность тока: $j = 9 \frac{А}{мм^2} = 9 \frac{А}{(10^{-3} м)^2} = 9 \cdot 10^6$ А/м²

Справочные данные для меди:

Удельное электрическое сопротивление $ρ = 1.7 \cdot 10^{-8}$ Ом·м

Плотность $d = 8960$ кг/м³

Удельная теплоемкость $c = 385$ Дж/(кг·К)

Найти:

Изменение температуры стержня $ΔT$

Решение:

При прохождении электрического тока через проводник в нем выделяется тепло. Согласно закону Джоуля-Ленца, количество выделившейся теплоты $Q_1$ определяется по формуле:

$Q_1 = I^2 R t$

где $\text{I}$ – сила тока, $\text{R}$ – сопротивление проводника, $\text{t}$ – время прохождения тока.

Так как по условию задачи потерями энергии можно пренебречь, вся выделившаяся теплота идет на нагревание медного стержня. Количество теплоты $Q_2$, необходимое для нагревания тела, вычисляется по формуле:

$Q_2 = c m ΔT$

где $\text{c}$ – удельная теплоемкость вещества, $\text{m}$ – масса тела, $ΔT$ – изменение его температуры.

Приравниваем количество выделившейся теплоты к количеству поглощенной теплоты:

$Q_1 = Q_2$

$I^2 R t = c m ΔT$

Чтобы решить задачу, выразим силу тока $\text{I}$, сопротивление $\text{R}$ и массу $\text{m}$ через плотность тока $\text{j}$ и физические параметры стержня (длину $\text{L}$ и площадь поперечного сечения $\text{S}$).

Сила тока $\text{I}$ связана с плотностью тока $\text{j}$ и площадью поперечного сечения $\text{S}$ соотношением: $I = jS$.

Сопротивление стержня $\text{R}$ зависит от его материала (удельного сопротивления $ρ$), длины $\text{L}$ и площади поперечного сечения $\text{S}$: $R = ρ \frac{L}{S}$.

Масса стержня $\text{m}$ равна произведению его плотности $\text{d}$ на объем $\text{V}$. Объем стержня $V = LS$. Следовательно, $m = dV = dLS$.

Подставим полученные выражения в уравнение теплового баланса:

$(jS)^2 \cdot (ρ \frac{L}{S}) \cdot t = c \cdot (dLS) \cdot ΔT$

Упростим выражение:

$j^2 S^2 \frac{ρL}{S} t = cdLSΔT$

$j^2 ρ S L t = cdLSΔT$

Как видно из уравнения, длина стержня $\text{L}$ и площадь его поперечного сечения $\text{S}$ сокращаются. Это означает, что изменение температуры не зависит от размеров стержня.

$j^2 ρ t = cdΔT$

Теперь выразим искомое изменение температуры $ΔT$:

$ΔT = \frac{j^2 ρ t}{cd}$

Подставим числовые значения в СИ:

$ΔT = \frac{(9 \cdot 10^6)^2 \cdot (1.7 \cdot 10^{-8}) \cdot 0.5}{385 \cdot 8960} = \frac{81 \cdot 10^{12} \cdot 1.7 \cdot 10^{-8} \cdot 0.5}{3449600} = \frac{6.885 \cdot 10^5}{3.4496 \cdot 10^6} \approx 0.1996$ К

Округляя до двух значащих цифр, получаем $ΔT \approx 0.20$ К. Изменение температуры в градусах Кельвина равно изменению температуры в градусах Цельсия ($ΔT(К) = Δt(°C)$).

Ответ: медный стержень нагреется на $0.20$ К (или $0.20$ °C).