Номер 1.145, страница 24 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Работа и мощность постоянного тока - номер 1.145, страница 24.

Условие.

1.145. Из никелиновой проволоки длиной 6 м изготовлен нагреватель, который при силе тока 5 А за 14 мин нагревает 1,5 л воды на 84 °С. Определите площадь сечения проволоки. Потерями энергии пренебречь.

Решение.

Дано:

Длина никелиновой проволоки, $l = 6$ м
Сила тока, $I = 5$ А
Время нагрева, $t = 14$ мин
Объем воды, $V = 1,5$ л
Изменение температуры воды, $\Delta T = 84$ °С
Удельное сопротивление никелина, $\rho = 0,4 \cdot 10^{-6}$ Ом·м
Удельная теплоемкость воды, $c = 4200$ Дж/(кг·°С)
Плотность воды, $\rho_{в} = 1000$ кг/м³

Перевод в систему СИ:
$t = 14 \text{ мин} = 14 \cdot 60 \text{ с} = 840$ с
$V = 1,5 \text{ л} = 1,5 \cdot 10^{-3}$ м³

Найти:

Площадь поперечного сечения проволоки, $\text{S}$.

Решение:

Согласно условию задачи, потерями энергии можно пренебречь. Это означает, что вся работа электрического тока, которая преобразуется в тепло в нагревателе, идет на нагревание воды. Таким образом, количество теплоты, выделенное нагревателем ($Q_{эл}$), равно количеству теплоты, полученному водой ($Q_{в}$).

$Q_{эл} = Q_{в}$

Количество теплоты, выделяемое проводником с током, определяется законом Джоуля-Ленца: $Q_{эл} = I^2 R t$, где $\text{I}$ – сила тока, $\text{R}$ – сопротивление проводника, $\text{t}$ – время.

Количество теплоты, необходимое для нагревания воды, вычисляется по формуле: $Q_{в} = c m \Delta T$, где $\text{c}$ – удельная теплоемкость воды, $\text{m}$ – масса воды, $\Delta T$ – изменение температуры.

Массу воды найдем через ее объем и плотность: $m = \rho_{в} V$.

Сопротивление проволоки зависит от ее материала (удельного сопротивления $\rho$), длины $\text{l}$ и площади поперечного сечения $\text{S}$: $R = \frac{\rho l}{S}$.

Приравняем выражения для $Q_{эл}$ и $Q_{в}$ и подставим в них формулы для массы $\text{m}$ и сопротивления $\text{R}$: $I^2 \left(\frac{\rho l}{S}\right) t = c (\rho_{в} V) \Delta T$.

Выразим из этого уравнения искомую площадь поперечного сечения $\text{S}$: $S = \frac{I^2 \rho l t}{c \rho_{в} V \Delta T}$.

Подставим числовые значения в систему СИ и произведем расчеты: $S = \frac{(5 \text{ А})^2 \cdot (0,4 \cdot 10^{-6} \text{ Ом·м}) \cdot 6 \text{ м} \cdot 840 \text{ с}}{4200 \frac{Дж}{кг \cdot °С} \cdot 1000 \frac{кг}{м^3} \cdot 1,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \cdot 84 \text{ °С}}$.

$S = \frac{25 \cdot 0,4 \cdot 10^{-6} \cdot 6 \cdot 840}{4200 \cdot 1,5 \cdot 84} = \frac{50400 \cdot 10^{-6}}{529200} \approx 9,5238 \cdot 10^{-8} \text{ м}^2$.

Для удобства представления результата переведем его в квадратные миллиметры, зная, что $1 \text{ мм}^2 = 10^{-6} \text{ м}^2$: $S \approx 9,52 \cdot 10^{-8} \text{ м}^2 = 0,0952 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 \approx 0,095 \text{ мм}^2$.

Ответ: Площадь сечения проволоки приблизительно равна $0,095 \text{ мм}^2$.