Номер 1.144, страница 24 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Работа и мощность постоянного тока - номер 1.144, страница 24.

Условие.

1.144. Какой длины надо взять нихромовый проводник сечением $0.1 \text{ мм}^2$, чтобы изготовить нагреватель на $220 \text{ В}$, способный за $3 \text{ мин}$ нагреть $200 \text{ г}$ воды от $20 \text{ °С}$ до кипения при КПД $80\%$?

Решение.

Дано:

Площадь поперечного сечения, $S = 0.1 \text{ мм}^2 = 0.1 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 10^{-7} \text{ м}^2$
Напряжение, $U = 220 \text{ В}$
Время, $t = 3 \text{ мин} = 3 \cdot 60 \text{ с} = 180 \text{ с}$
Масса воды, $m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$
Начальная температура воды, $T_1 = 20 \text{ }^\circ\text{С}$
Конечная температура воды (кипение), $T_2 = 100 \text{ }^\circ\text{С}$
КПД, $\eta = 80\% = 0.8$
Удельное сопротивление нихрома (справочное значение), $\rho = 1.1 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}$
Удельная теплоемкость воды (справочное значение), $c = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Найти:

Длину проводника, $\text{l}$.

Решение:

1. Полезное количество теплоты ($Q_{полезная}$), необходимое для нагрева воды, вычисляется по формуле:$Q_{полезная} = c \cdot m \cdot (T_2 - T_1)$

2. Полная работа электрического тока ($A_{полная}$), совершаемая нагревателем, определяется по закону Джоуля-Ленца:$A_{полная} = \frac{U^2}{R} \cdot t$, где $\text{R}$ – сопротивление проводника.

3. Коэффициент полезного действия (КПД) связывает полезную теплоту и полную работу:$\eta = \frac{Q_{полезная}}{A_{полная}}$

Подставим выражения для $Q_{полезная}$ и $A_{полная}$:$\eta = \frac{c \cdot m \cdot (T_2 - T_1)}{\frac{U^2}{R} \cdot t} = \frac{c \cdot m \cdot (T_2 - T_1) \cdot R}{U^2 \cdot t}$

4. Сопротивление проводника зависит от его геометрических размеров и материала:$R = \rho \frac{l}{S}$

5. Подставим выражение для сопротивления $\text{R}$ в формулу для КПД и выразим искомую длину $\text{l}$:$\eta = \frac{c \cdot m \cdot (T_2 - T_1) \cdot (\rho \frac{l}{S})}{U^2 \cdot t} = \frac{c \cdot m \cdot \Delta T \cdot \rho \cdot l}{U^2 \cdot t \cdot S}$

$l = \frac{\eta \cdot U^2 \cdot t \cdot S}{c \cdot m \cdot (T_2 - T_1) \cdot \rho}$

6. Подставим числовые значения и рассчитаем длину проводника:$l = \frac{0.8 \cdot (220 \text{ В})^2 \cdot 180 \text{ с} \cdot 10^{-7} \text{ м}^2}{4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 0.2 \text{ кг} \cdot (100 \text{ °C} - 20 \text{ °C}) \cdot 1.1 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}}$

$l = \frac{0.8 \cdot 48400 \cdot 180 \cdot 10^{-7}}{4200 \cdot 0.2 \cdot 80 \cdot 1.1 \cdot 10^{-6}} = \frac{6969600 \cdot 10^{-7}}{73920 \cdot 10^{-6}} = \frac{0.69696}{0.07392} \approx 9.43 \text{ м}$

Ответ: для изготовления нагревателя необходимо взять нихромовый проводник длиной примерно $9.43$ м.