Номер 1.136, страница 23 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Работа и мощность постоянного тока - номер 1.136, страница 23.

Условие.

1.136**. На рисунке 1.57 показана схема электрической цепи. Сопротивления резисторов $R_1 = 12 \text{ Ом}$, $R_2 = 6 \text{ Ом}$, $R_3 = 5 \text{ Ом}$ $R_4 = 7 \text{ Ом}$. Найдите мощность, выделяющуюся на лампе, если цепь потребляет мощность $216 \text{ Вт}$, а $U_{AB} = 36 \text{ В}$.

Рис. 1.57

Решение.

Дано:

$R_1 = 12$ Ом

$R_2 = 6$ Ом

$R_3 = 5$ Ом

$R_4 = 7$ Ом

$P_{общ} = 216$ Вт

$U_{AB} = 36$ В

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$P_Л$ - мощность, выделяющуюся на лампе.

Решение:

Представленная схема является мостовой схемой (мост Уитстона). Резисторы $R_1$, $R_2$, $R_3$, $R_4$ являются плечами моста, а лампа включена в диагональ моста. Для нахождения мощности на лампе воспользуемся методом узловых потенциалов.

Обозначим узлы схемы. Узел, к которому подключен вывод A, обозначим как 1. Узел, к которому подключен вывод B, обозначим как 2. Узел между резисторами $R_1$, $R_2$ и лампой обозначим как C, а узел между резисторами $R_3$, $R_4$ и лампой — как D.

Примем потенциал узла 2 (и вывода B) равным нулю: $\phi_2 = \phi_B = 0$ В. Тогда потенциал узла 1 (и вывода A) будет равен $\phi_1 = \phi_A = U_{AB} = 36$ В. Обозначим потенциалы узлов C и D как $\phi_C$ и $\phi_D$ соответственно.

Общий ток, потребляемый цепью, можно найти из общей мощности и напряжения:

$I_{общ} = \frac{P_{общ}}{U_{AB}} = \frac{216 \text{ Вт}}{36 \text{ В}} = 6 \text{ А}$

Этот ток втекает в узел 1 (A) и вытекает из узла 2 (B). Запишем выражение для общего тока, втекающего в узел A, через потенциалы узлов:

$I_{общ} = I_{R1} + I_{R3} = \frac{\phi_A - \phi_C}{R_1} + \frac{\phi_A - \phi_D}{R_3}$

$6 = \frac{36 - \phi_C}{12} + \frac{36 - \phi_D}{5}$

$6 = 3 - \frac{\phi_C}{12} + 7.2 - \frac{\phi_D}{5}$

$6 - 10.2 = -\frac{\phi_C}{12} - \frac{\phi_D}{5}$

$4.2 = \frac{\phi_C}{12} + \frac{\phi_D}{5}$

Умножим обе части на 60, чтобы избавиться от дробей:

$252 = 5\phi_C + 12\phi_D$ (1)

Теперь применим первый закон Кирхгофа (правило токов) для узлов C и D. Обозначим сопротивление лампы как $R_Л$.

Для узла C (сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из узла):

$\frac{\phi_A - \phi_C}{R_1} = \frac{\phi_C - \phi_B}{R_2} + \frac{\phi_C - \phi_D}{R_Л}$

$\frac{36 - \phi_C}{12} = \frac{\phi_C}{6} + \frac{\phi_C - \phi_D}{R_Л}$

Для узла D:

$\frac{\phi_A - \phi_D}{R_3} + \frac{\phi_C - \phi_D}{R_Л} = \frac{\phi_D - \phi_B}{R_4}$

$\frac{36 - \phi_D}{5} + \frac{\phi_C - \phi_D}{R_Л} = \frac{\phi_D}{7}$

Выразим ток через лампу, $\frac{\phi_C - \phi_D}{R_Л}$, из обоих уравнений:

Из уравнения для узла C: $\frac{\phi_C - \phi_D}{R_Л} = \frac{36 - \phi_C}{12} - \frac{\phi_C}{6} = \frac{36 - \phi_C - 2\phi_C}{12} = \frac{36 - 3\phi_C}{12} = \frac{12 - \phi_C}{4}$

Из уравнения для узла D: $\frac{\phi_C - \phi_D}{R_Л} = \frac{\phi_D}{7} - \frac{36 - \phi_D}{5} = \frac{5\phi_D - 7(36 - \phi_D)}{35} = \frac{5\phi_D - 252 + 7\phi_D}{35} = \frac{12\phi_D - 252}{35}$

Приравняем правые части этих выражений:

$\frac{12 - \phi_C}{4} = \frac{12\phi_D - 252}{35}$

$35(12 - \phi_C) = 4(12\phi_D - 252)$

$420 - 35\phi_C = 48\phi_D - 1008$

$1428 = 35\phi_C + 48\phi_D$ (2)

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $\phi_C$ и $\phi_D$:

$\begin{cases} 5\phi_C + 12\phi_D = 252 \\ 35\phi_C + 48\phi_D = 1428 \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 4:

$20\phi_C + 48\phi_D = 1008$

Вычтем это уравнение из второго уравнения системы:

$(35\phi_C - 20\phi_C) + (48\phi_D - 48\phi_D) = 1428 - 1008$

$15\phi_C = 420$

$\phi_C = \frac{420}{15} = 28$ В

Подставим найденное значение $\phi_C$ в первое уравнение системы:

$5(28) + 12\phi_D = 252$

$140 + 12\phi_D = 252$

$12\phi_D = 112$

$\phi_D = \frac{112}{12} = \frac{28}{3}$ В

Теперь мы можем найти напряжение на лампе $U_Л$ и ток через нее $I_Л$.

Напряжение на лампе:

$U_Л = \phi_C - \phi_D = 28 - \frac{28}{3} = \frac{84 - 28}{3} = \frac{56}{3}$ В

Ток через лампу $I_Л$ (в направлении от C к D) можно найти из закона Кирхгофа для узла C:

$I_{R1} = I_{R2} + I_Л$

$I_Л = I_{R1} - I_{R2} = \frac{\phi_A - \phi_C}{R_1} - \frac{\phi_C - \phi_B}{R_2}$

$I_Л = \frac{36 - 28}{12} - \frac{28 - 0}{6} = \frac{8}{12} - \frac{28}{6} = \frac{2}{3} - \frac{14}{3} = -\frac{12}{3} = -4$ А

Отрицательный знак означает, что ток течет в обратном направлении, от узла D к узлу C.

Мощность, выделяющаяся на лампе, равна произведению напряжения на ней на ток через нее:

$P_Л = U_Л \cdot I_Л = (\frac{56}{3} \text{ В}) \cdot (-4 \text{ А}) = -\frac{224}{3}$ Вт

$P_Л \approx -74.67$ Вт

Отрицательное значение мощности означает, что лампа в данной схеме не потребляет, а отдает энергию, то есть работает как источник ЭДС. Это указывает на возможную некорректность исходных данных задачи, однако математическое решение приводит к такому результату.

Ответ: $P_Л = -224/3 \text{ Вт} \approx -74.7 \text{ Вт}$.