Номер 1.134, страница 23 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Работа и мощность постоянного тока - номер 1.134, страница 23.

Условие.

1.134*. При замкнутом и разомкнутом ключе К на участке цепи ab (рис. 1.55) выделяется одна и та же мощность. Найдите сопротивление резистора R3, если $R_1 = R_2 = 20 \, \text{Ом}$.

Рис. 1.55

Решение.

Дано:

$R_1 = R_2 = 20$ Ом

$P_{ab, \text{разомкнут}} = P_{ab, \text{замкнут}}$ (мощность на участке ab одинакова)

Найти:

$R_3$

Решение:

Пусть напряжение, приложенное ко всей цепи, равно $\text{U}$. Мощность, выделяемую на участке цепи, будем находить по формуле $P = I^2 R_{участка}$, где $\text{I}$ — общий ток, протекающий через участок, а $R_{участка}$ — эквивалентное сопротивление этого участка.

1. Случай, когда ключ K разомкнут.

В этом случае ток через резистор $R_2$ не идет. Цепь состоит из последовательно соединенных резисторов $R_1$ и $R_3$. Участок ab состоит только из резистора $R_1$, поэтому его сопротивление $R_{ab1} = R_1$.

Общее сопротивление всей цепи:

$R_{общ1} = R_1 + R_3$

Сила тока в цепи:

$I_1 = \frac{U}{R_{общ1}} = \frac{U}{R_1 + R_3}$

Мощность, выделяемая на участке ab (на резисторе $R_1$), равна:

$P_1 = I_1^2 R_{ab1} = \left(\frac{U}{R_1 + R_3}\right)^2 R_1$

2. Случай, когда ключ K замкнут.

В этом случае резисторы $R_1$ и $R_2$ соединены параллельно. Эквивалентное сопротивление участка ab равно:

$R_{ab2} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$

Так как по условию $R_1 = R_2$, то:

$R_{ab2} = \frac{R_1 \cdot R_1}{R_1 + R_1} = \frac{R_1^2}{2R_1} = \frac{R_1}{2}$

Это сопротивление соединено последовательно с резистором $R_3$. Общее сопротивление всей цепи:

$R_{общ2} = R_{ab2} + R_3 = \frac{R_1}{2} + R_3$

Сила тока, протекающего через участок ab:

$I_2 = \frac{U}{R_{общ2}} = \frac{U}{\frac{R_1}{2} + R_3}$

Мощность, выделяемая на участке ab, равна:

$P_2 = I_2^2 R_{ab2} = \left(\frac{U}{\frac{R_1}{2} + R_3}\right)^2 \frac{R_1}{2}$

3. Нахождение сопротивления $R_3$.

По условию задачи, мощности $P_1$ и $P_2$ равны:

$P_1 = P_2$

$\left(\frac{U}{R_1 + R_3}\right)^2 R_1 = \left(\frac{U}{\frac{R_1}{2} + R_3}\right)^2 \frac{R_1}{2}$

Сократим обе части уравнения на $U^2 R_1$ (так как $U \neq 0$ и $R_1 \neq 0$):

$\frac{1}{(R_1 + R_3)^2} = \frac{1/2}{(\frac{R_1}{2} + R_3)^2}$

Перепишем уравнение в виде:

$2 \left(\frac{R_1}{2} + R_3\right)^2 = (R_1 + R_3)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку сопротивления — величины положительные, то и выражения в скобках положительны:

$\sqrt{2} \left(\frac{R_1}{2} + R_3\right) = R_1 + R_3$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение для нахождения $R_3$:

$\frac{\sqrt{2}}{2} R_1 + \sqrt{2} R_3 = R_1 + R_3$

$\sqrt{2} R_3 - R_3 = R_1 - \frac{\sqrt{2}}{2} R_1$

$R_3 (\sqrt{2} - 1) = R_1 \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$R_3 (\sqrt{2} - 1) = R_1 \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

Заметим, что $2 - \sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)$, и подставим это в уравнение:

$R_3 (\sqrt{2} - 1) = R_1 \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{2}$

Сократив на $(\sqrt{2} - 1)$, получим:

$R_3 = \frac{\sqrt{2}}{2} R_1$

Подставим известное значение $R_1 = 20$ Ом:

$R_3 = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 20 = 10\sqrt{2}$ Ом.

Ответ: $R_3 = 10\sqrt{2}$ Ом $\approx 14,14$ Ом.