Номер 1.25, страница 6 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Сила тока. Сопротивление проводника - номер 1.25, страница 6.

Условие.

1.25*. Проволоку длиной 1 м растянули так, что её длина стала 110 см. На сколько процентов увеличилось при этом сопротивление проволоки?

Решение.

Дано:

Начальная длина проволоки: $l_1 = 1$ м

Конечная длина проволоки: $l_2 = 110$ см

Перевод в систему СИ:

$l_2 = 110$ см $= 1.1$ м

Найти:

На сколько процентов увеличилось сопротивление: $\frac{\Delta R}{R_1} \cdot 100\%$

Решение:

Сопротивление проводника определяется формулой $R = \rho \frac{l}{S}$, где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $\text{l}$ — длина проводника, $\text{S}$ — площадь его поперечного сечения.

Начальное сопротивление проволоки было:

$R_1 = \rho \frac{l_1}{S_1}$

После растяжения длина проволоки стала $l_2$, а площадь поперечного сечения — $S_2$. Новое сопротивление стало:

$R_2 = \rho \frac{l_2}{S_2}$

При растяжении проволоки её объём $\text{V}$ остаётся неизменным, так как материал, из которого она сделана, можно считать несжимаемым. Объём проволоки (цилиндра) равен произведению её длины на площадь поперечного сечения: $V = l \cdot S$.

Так как объём не изменился, мы можем записать:

$V_1 = V_2$

$l_1 S_1 = l_2 S_2$

Из этого соотношения выразим, как изменилась площадь поперечного сечения:

$S_2 = S_1 \frac{l_1}{l_2}$

Теперь подставим это выражение для $S_2$ в формулу для конечного сопротивления $R_2$:

$R_2 = \rho \frac{l_2}{S_2} = \rho \frac{l_2}{S_1 \frac{l_1}{l_2}} = \rho \frac{l_2^2}{S_1 l_1}$

Чтобы найти, во сколько раз изменилось сопротивление, найдём отношение $R_2$ к $R_1$:

$\frac{R_2}{R_1} = \frac{\rho \frac{l_2^2}{S_1 l_1}}{\rho \frac{l_1}{S_1}} = \frac{l_2^2}{l_1^2} = \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2$

Подставим числовые значения длин:

$\frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{1.1 \text{ м}}{1 \text{ м}}\right)^2 = (1.1)^2 = 1.21$

Это означает, что $R_2 = 1.21 R_1$.

Чтобы найти, на сколько процентов увеличилось сопротивление, воспользуемся формулой:

$\frac{\Delta R}{R_1} \cdot 100\% = \frac{R_2 - R_1}{R_1} \cdot 100\% = \left(\frac{R_2}{R_1} - 1\right) \cdot 100\%$

$\left(1.21 - 1\right) \cdot 100\% = 0.21 \cdot 100\% = 21\%$

Ответ: сопротивление проволоки увеличилось на 21%.