Номер 1.27, страница 6 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Сила тока. Сопротивление проводника - номер 1.27, страница 6.

Условие.

1.27. Два железных проводника имеют одинаковые массы. Длина первого в 10 раз больше длины второго. Во сколько раз различаются сопротивления проводников?

Решение.

Дано:

$m_1 = m_2 = m$

$l_1 = 10 \cdot l_2$

Материал проводников — железо, значит, их удельное сопротивление $\rho$ и плотность $\text{d}$ одинаковы.

Найти:

$\frac{R_1}{R_2} - ?$

Решение:

Сопротивление проводника определяется по формуле:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $\text{l}$ — длина проводника, $\text{S}$ — площадь поперечного сечения.

Масса проводника связана с его объемом $\text{V}$ и плотностью $\text{d}$ соотношением:

$m = d \cdot V$

Объем проводника, имеющего форму цилиндра, равен:

$V = S \cdot l$

Тогда масса проводника:

$m = d \cdot S \cdot l$

Выразим площадь поперечного сечения $\text{S}$ из формулы для массы:

$S = \frac{m}{d \cdot l}$

Теперь подставим это выражение для площади $\text{S}$ в формулу для сопротивления $\text{R}$:

$R = \rho \frac{l}{S} = \rho \frac{l}{\frac{m}{d \cdot l}} = \frac{\rho \cdot d \cdot l^2}{m}$

Запишем формулы для сопротивлений первого и второго проводников:

$R_1 = \frac{\rho \cdot d \cdot l_1^2}{m_1}$

$R_2 = \frac{\rho \cdot d \cdot l_2^2}{m_2}$

Найдем отношение сопротивлений $\frac{R_1}{R_2}$:

$\frac{R_1}{R_2} = \frac{\frac{\rho \cdot d \cdot l_1^2}{m_1}}{\frac{\rho \cdot d \cdot l_2^2}{m_2}}$

Поскольку оба проводника сделаны из железа, их удельное сопротивление $\rho$ и плотность $\text{d}$ одинаковы. По условию задачи, их массы также равны ($m_1 = m_2$). Следовательно, эти величины сокращаются:

$\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1^2}{l_2^2} = \left(\frac{l_1}{l_2}\right)^2$

Из условия известно, что $l_1 = 10 \cdot l_2$, значит $\frac{l_1}{l_2} = 10$.

Подставим это значение в наше соотношение:

$\frac{R_1}{R_2} = 10^2 = 100$

Таким образом, сопротивление первого, более длинного, проводника в 100 раз больше сопротивления второго.

Ответ: сопротивления проводников различаются в 100 раз.