Номер 1.31, страница 7 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Сила тока. Сопротивление проводника - номер 1.31, страница 7.

Условие.

1.31. Цепь состоит из двух последовательно соединённых цилиндрических проводников, сопротивление первого равно $\text{R}$, а второго — $\text{2R}$. Во сколько раз изменится общее сопротивление цепи, если заменить проводником из того же материала, но вдвое большей длины и в 4 раза большей площади сечения:

а) первый проводник;

б) второй проводник?

Решение.

Дано:

Сопротивление первого проводника: $R_1 = R$

Сопротивление второго проводника: $R_2 = 2R$

Тип соединения: последовательное

Параметры нового проводника (в сравнении с заменяемым):

Материал тот же: $\rho' = \rho$

Длина вдвое больше: $L' = 2L$

Площадь сечения в 4 раза больше: $S' = 4S$

Найти:

а) Во сколько раз изменится общее сопротивление цепи, если заменить первый проводник: $k_a = \frac{R_{общ.a}}{R_{общ}}$

б) Во сколько раз изменится общее сопротивление цепи, если заменить второй проводник: $k_b = \frac{R_{общ.b}}{R_{общ}}$

Решение:

Начальное общее сопротивление цепи при последовательном соединении равно сумме сопротивлений проводников:

$R_{общ} = R_1 + R_2 = R + 2R = 3R$

Сопротивление проводника определяется по формуле: $R_{пр} = \rho \frac{L}{S}$, где $\rho$ – удельное сопротивление материала, $\text{L}$ – длина, $\text{S}$ – площадь поперечного сечения.

Найдем, как изменится сопротивление проводника при замене. Пусть сопротивление заменяемого проводника было $R_{стар} = \rho \frac{L}{S}$.

Сопротивление нового проводника $R_{нов}$ с длиной $L' = 2L$ и площадью $S' = 4S$ будет:

$R_{нов} = \rho \frac{L'}{S'} = \rho \frac{2L}{4S} = \frac{1}{2} \left(\rho \frac{L}{S}\right) = \frac{1}{2} R_{стар}$

Это означает, что сопротивление заменяемого проводника уменьшится в 2 раза.

а) Заменяем первый проводник

Сопротивление первого проводника $R_1 = R$. Его новое сопротивление будет $R'_{1} = \frac{1}{2}R_1 = \frac{1}{2}R$.

Сопротивление второго проводника $R_2 = 2R$ остается неизменным.

Новое общее сопротивление цепи $R_{общ.a}$:

$R_{общ.a} = R'_{1} + R_2 = \frac{1}{2}R + 2R = \frac{5}{2}R = 2.5R$

Чтобы найти, во сколько раз изменилось сопротивление, найдем отношение начального сопротивления к новому:

$\frac{R_{общ}}{R_{общ.a}} = \frac{3R}{2.5R} = \frac{3}{2.5} = \frac{6}{5} = 1.2$

Так как новое сопротивление меньше начального, оно уменьшилось.

Ответ: Общее сопротивление уменьшится в 1.2 раза.

б) Заменяем второй проводник

Сопротивление второго проводника $R_2 = 2R$. Его новое сопротивление будет $R'_{2} = \frac{1}{2}R_2 = \frac{1}{2}(2R) = R$.

Сопротивление первого проводника $R_1 = R$ остается неизменным.

Новое общее сопротивление цепи $R_{общ.b}$:

$R_{общ.b} = R_1 + R'_{2} = R + R = 2R$

Найдем отношение начального сопротивления к новому:

$\frac{R_{общ}}{R_{общ.b}} = \frac{3R}{2R} = \frac{3}{2} = 1.5$

Так как новое сопротивление меньше начального, оно уменьшилось.

Ответ: Общее сопротивление уменьшится в 1.5 раза.