Номер 1.28, страница 7 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Сила тока. Сопротивление проводника - номер 1.28, страница 7.

Условие.

1.28. Имеются два медных проводника, первый в 8 раз длиннее второго, а второй имеет вдвое меньшую массу. Во сколько раз различаются сопротивления проводников?

Решение.

Дано:

$L_1 = 8 L_2$

$m_2 = \frac{1}{2} m_1$ (что эквивалентно $m_1 = 2 m_2$)

Материал проводников — медь, следовательно, их удельное сопротивление $\rho$ и плотность $\text{d}$ одинаковы:

$\rho_1 = \rho_2 = \rho$

$d_1 = d_2 = d$

Найти:

Во сколько раз различаются сопротивления, то есть найти отношение $\frac{R_1}{R_2}$.

Решение:

Сопротивление проводника вычисляется по формуле:

$R = \rho \frac{L}{S}$

где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $\text{L}$ — длина проводника, $\text{S}$ — площадь поперечного сечения.

Масса проводника $\text{m}$ связана с его плотностью $\text{d}$ и объемом $\text{V}$ следующим образом:

$m = d \cdot V$

Объем проводника, имеющего форму цилиндра, равен $V = S \cdot L$. Подставив это в формулу массы, получим:

$m = d \cdot S \cdot L$

Из этого выражения можно выразить площадь поперечного сечения $\text{S}$:

$S = \frac{m}{d \cdot L}$

Теперь подставим полученное выражение для $\text{S}$ в формулу сопротивления:

$R = \rho \frac{L}{S} = \rho \frac{L}{\frac{m}{d \cdot L}} = \rho \frac{L \cdot (d \cdot L)}{m} = \rho d \frac{L^2}{m}$

Запишем эту формулу для каждого из двух проводников:

$R_1 = \rho d \frac{L_1^2}{m_1}$

$R_2 = \rho d \frac{L_2^2}{m_2}$

Чтобы найти, во сколько раз различаются их сопротивления, найдем отношение $R_1$ к $R_2$:

$\frac{R_1}{R_2} = \frac{\rho d \frac{L_1^2}{m_1}}{\rho d \frac{L_2^2}{m_2}}$

Поскольку оба проводника сделаны из одного и того же материала (меди), их удельное сопротивление $\rho$ и плотность $\text{d}$ одинаковы, поэтому они сокращаются в дроби:

$\frac{R_1}{R_2} = \frac{\frac{L_1^2}{m_1}}{\frac{L_2^2}{m_2}} = \frac{L_1^2}{m_1} \cdot \frac{m_2}{L_2^2} = (\frac{L_1}{L_2})^2 \cdot \frac{m_2}{m_1}$

Из условия задачи мы знаем, что $L_1 = 8 L_2$ и $m_1 = 2 m_2$. Отсюда получаем отношения:

$\frac{L_1}{L_2} = 8$

$\frac{m_2}{m_1} = \frac{1}{2}$

Подставим эти значения в итоговую формулу:

$\frac{R_1}{R_2} = (8)^2 \cdot \frac{1}{2} = 64 \cdot \frac{1}{2} = 32$

Таким образом, сопротивление первого проводника в 32 раза больше сопротивления второго.

Ответ: Сопротивления проводников различаются в 32 раза.