Номер 1.26, страница 6 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Сила тока. Сопротивление проводника - номер 1.26, страница 6.

Условие.

1.26. Медный и алюминиевый проводники одинакового сечения имеют равные сопротивления. На сколько различаются длины проводников, если длина медного проводника 50 см?

Решение.

Дано

$l_{м} = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$ (длина медного проводника)
$S_{м} = S_{а} = S$ (одинаковое сечение)
$R_{м} = R_{а} = R$ (равные сопротивления)
Справочные данные:
$\rho_{м} \approx 1.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$ (удельное сопротивление меди)
$\rho_{а} \approx 2.8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$ (удельное сопротивление алюминия)

Найти:

$\Delta l = |l_{м} - l_{а}|$

Решение

Сопротивление проводника вычисляется по формуле $R = \rho \frac{l}{S}$, где $\rho$ – удельное сопротивление материала, $\text{l}$ – длина проводника, а $\text{S}$ – площадь его поперечного сечения.

Запишем выражения для сопротивления медного (индекс «м») и алюминиевого (индекс «а») проводников:

$R_{м} = \rho_{м} \frac{l_{м}}{S_{м}}$

$R_{а} = \rho_{а} \frac{l_{а}}{S_{а}}$

Согласно условию задачи, сопротивления проводников равны ($R_{м} = R_{а}$) и площади их поперечного сечения также равны ($S_{м} = S_{а} = S$). Приравняем правые части уравнений:

$\rho_{м} \frac{l_{м}}{S} = \rho_{а} \frac{l_{а}}{S}$

Сократив $\text{S}$ в обеих частях равенства, получим соотношение:

$\rho_{м} l_{м} = \rho_{а} l_{а}$

Из этого выражения найдем длину алюминиевого проводника $l_{а}$:

$l_{а} = l_{м} \frac{\rho_{м}}{\rho_{а}}$

Подставим числовые значения:

$l_{а} = 0.5 \text{ м} \cdot \frac{1.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}}{2.8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}} = 0.5 \text{ м} \cdot \frac{1.7}{2.8} \approx 0.3036 \text{ м}$

Длина алюминиевого проводника составляет примерно $30.4$ см.

Теперь найдем, на сколько различаются длины проводников. Поскольку удельное сопротивление алюминия больше, чем у меди, для достижения того же сопротивления при одинаковом сечении алюминиевый проводник должен быть короче.

$\Delta l = l_{м} - l_{а} = 0.5 \text{ м} - 0.3036 \text{ м} = 0.1964 \text{ м}$

Переведем полученное значение в сантиметры: $0.1964 \text{ м} \approx 19.6 \text{ см}$.

Ответ: длины проводников различаются на 19.6 см.