Номер 1.30, страница 7 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Сила тока. Сопротивление проводника - номер 1.30, страница 7.

Условие.

1.30. Сопротивление медного проводника массой 0,2 кг равно 0,2 Ом. Определите:

a) площадь поперечного сечения проводника;

б) длину проводника.

Решение.

Дано:

Материал проводника - медь

Масса проводника, $m = 0,2$ кг

Сопротивление проводника, $R = 0,2$ Ом

Удельное сопротивление меди (табличное значение), $\rho = 1,7 \cdot 10^{-8}$ Ом·м

Плотность меди (табличное значение), $d = 8900$ кг/м³

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

а) Площадь поперечного сечения, $\text{S}$ - ?

б) Длину проводника, $\text{L}$ - ?

Решение:

Для решения задачи используем две основные формулы:

1. Формула сопротивления проводника:

$R = \rho \frac{L}{S}$

где $\text{R}$ – сопротивление, $\rho$ – удельное сопротивление материала, $\text{L}$ – длина проводника, $\text{S}$ – площадь поперечного сечения.

2. Формула массы тела через плотность и объем:

$m = d \cdot V$

Объем проводника, имеющего форму цилиндра, равен $V = S \cdot L$. Тогда формула массы примет вид:

$m = d \cdot S \cdot L$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($\text{S}$ и $\text{L}$):

$\begin{cases} R = \rho \frac{L}{S} \\ m = d \cdot S \cdot L \end{cases}$

Решим эту систему для нахождения искомых величин.

а) площадь поперечного сечения проводника

Из первого уравнения системы выразим длину проводника $\text{L}$:

$L = \frac{R \cdot S}{\rho}$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$m = d \cdot S \cdot \left(\frac{R \cdot S}{\rho}\right) = \frac{d \cdot R \cdot S^2}{\rho}$

Из полученного выражения выразим площадь поперечного сечения $\text{S}$:

$S^2 = \frac{m \cdot \rho}{d \cdot R}$

$S = \sqrt{\frac{m \cdot \rho}{d \cdot R}}$

Подставим числовые значения:

$S = \sqrt{\frac{0,2 \text{ кг} \cdot 1,7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}}{8900 \text{ кг/м}^3 \cdot 0,2 \text{ Ом}}} = \sqrt{\frac{1,7 \cdot 10^{-8}}{8900}} \text{ м}^2 \approx \sqrt{0,00191 \cdot 10^{-8}} \text{ м}^2 \approx \sqrt{1,91 \cdot 10^{-12}} \text{ м}^2 \approx 1,38 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

Для наглядности можно перевести результат в квадратные миллиметры: $1,38 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 = 1,38 \text{ мм}^2$.

Ответ: $1,38 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$ (или $1,38 \text{ мм}^2$).

б) длину проводника

Для нахождения длины $\text{L}$ воспользуемся выражением $m = d \cdot S \cdot L$ и выразим из него $\text{L}$:

$L = \frac{m}{d \cdot S}$

Подставим известные и найденные ранее значения:

$L = \frac{0,2 \text{ кг}}{8900 \text{ кг/м}^3 \cdot 1,38 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2} \approx \frac{0,2}{0,012282} \text{ м} \approx 16,28 \text{ м}$

Для большей точности можно было выразить $\text{L}$ напрямую из системы уравнений. Из второго уравнения $S = \frac{m}{d \cdot L}$. Подставим в первое:

$R = \rho \frac{L}{m / (d \cdot L)} = \frac{\rho \cdot d \cdot L^2}{m}$

Отсюда выразим $\text{L}$:

$L^2 = \frac{m \cdot R}{d \cdot \rho}$

$L = \sqrt{\frac{m \cdot R}{d \cdot \rho}} = \sqrt{\frac{0,2 \text{ кг} \cdot 0,2 \text{ Ом}}{8900 \text{ кг/м}^3 \cdot 1,7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}}} = \sqrt{\frac{0,04}{1,513 \cdot 10^{-4}}} \text{ м} \approx \sqrt{264,37} \text{ м} \approx 16,26 \text{ м}$

Расхождение в результатах связано с округлением значения $\text{S}$ в первом способе расчета.

Ответ: $16,26$ м.