Номер 3.131, страница 75 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Электромагнитная индукция в движущемся проводнике - номер 3.131, страница 75.

Условие.

3.131**. Тонкий металлический брусок длиной 80 см скользит равномерно со скоростью 0,6 м/с по диэлектрической наклонной плоскости в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл (рис. 3.61). Найдите коэффициент трения бруска о поверхность плоскости, если установившаяся между концами бруска разность потенциалов равна 240 мВ.

Рис. 3.61

Решение.

Дано:

$l = 80 \text{ см}$

$v = 0,6 \text{ м/с}$

$B = 0,1 \text{ Тл}$

$U = 240 \text{ мВ}$

Перевод в СИ:

$l = 0,8 \text{ м}$

$U = 240 \cdot 10^{-3} \text{ В} = 0,24 \text{ В}$

Найти:

$\mu$ - коэффициент трения

Решение:

При движении металлического бруска в магнитном поле на свободные заряды в нем действует сила Лоренца, что приводит к разделению зарядов и возникновению разности потенциалов (ЭДС индукции) на концах бруска.

Величина ЭДС индукции $\mathcal{E}$ для прямого проводника длиной $\text{l}$, движущегося со скоростью $\vec{v}$ в однородном магнитном поле с индукцией $\vec{B}$, определяется по формуле:

$\mathcal{E} = vBl \sin(\theta)$, где $\theta$ - угол между векторами скорости и индукции магнитного поля, и все три вектора $l, v, B$ взаимно перпендикулярны.

В нашем случае векторы не являются взаимно перпендикулярными. Вектор магнитной индукции $\vec{B}$ направлен вертикально вниз. Брусок движется по наклонной плоскости со скоростью $\vec{v}$, направленной под углом $\alpha$ к горизонту. Длина бруска $\text{l}$ расположена горизонтально и перпендикулярно вектору скорости.

ЭДС индукции возникает за счет составляющей скорости, перпендикулярной и вектору магнитной индукции, и самому проводнику. Вектор $\vec{B}$ направлен вертикально, а брусок $\text{l}$ — горизонтально, они перпендикулярны. Скорость $\vec{v}$ направлена под углом $\alpha$ к горизонту. Разложим ее на горизонтальную $v_г = v \cos(\alpha)$ и вертикальную $v_в = v \sin(\alpha)$ составляющие. Вертикальная составляющая скорости $v_в$ параллельна вектору $\vec{B}$ и не создает ЭДС. Горизонтальная составляющая $v_г$ перпендикулярна и вектору $\vec{B}$, и проводнику $\text{l}$. Таким образом, ЭДС индукции $U = \mathcal{E}$ определяется именно этой составляющей скорости:

$U = B l v_г = B l v \cos(\alpha)$

Из этого выражения мы можем найти угол наклона плоскости $\alpha$:

$\cos(\alpha) = \frac{U}{vBl}$

Поскольку брусок движется равномерно, то согласно первому закону Ньютона, сумма всех сил, действующих на него, равна нулю. В проекции на оси, связанные с наклонной плоскостью (ось X — вдоль плоскости, ось Y — перпендикулярно ей), это условие выглядит так:

На ось X: $mg \sin(\alpha) - F_{тр} = 0$

На ось Y: $N - mg \cos(\alpha) = 0$

где $\text{m}$ — масса бруска, $\text{g}$ — ускорение свободного падения, $\text{N}$ — сила нормальной реакции, $F_{тр}$ — сила трения.

Поскольку плоскость диэлектрическая, ток в бруске не течет, и сила Ампера на брусок не действует.

Из этих уравнений получаем:

$F_{тр} = mg \sin(\alpha)$

$N = mg \cos(\alpha)$

Коэффициент трения скольжения $\mu$ по определению равен:

$\mu = \frac{F_{тр}}{N} = \frac{mg \sin(\alpha)}{mg \cos(\alpha)} = \text{tg}(\alpha)$

Теперь мы можем найти коэффициент трения, определив сначала угол $\alpha$.

Подставим числовые значения в формулу для косинуса угла наклона:

$vBl = 0,6 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 0,1 \text{ Тл} \cdot 0,8 \text{ м} = 0,048 \text{ В}$

$\cos(\alpha) = \frac{U}{vBl} = \frac{0,24 \text{ В}}{0,048 \text{ В}} = 5$

Полученное значение косинуса угла наклона $\cos(\alpha) = 5$ является физически невозможным, так как область значений функции косинуса — $[-1; 1]$. Это означает, что данные, приведённые в условии задачи, противоречивы. Максимально возможная разность потенциалов в данных условиях (при $\alpha = 0$, то есть при движении по горизонтальной плоскости) составляет $U_{max} = vBl = 48 \text{ мВ}$, что в 5 раз меньше указанного в задаче значения 240 мВ.

Ответ: Задача не имеет физического решения, так как исходные данные противоречивы.