Номер 3.136, страница 76 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Электромагнитная индукция в движущемся проводнике - номер 3.136, страница 76.

Условие.

3.136*.Два параллельных проводящих стержня расположены в горизонтальной плоскости на расстоянии $l = 0,1$ м друг от друга. Стержни помещены в вертикальное магнитное поле с индукцией $B = 0,1$ Тл и замкнуты лежащей на них перемычкой массой $m = 0,1$ кг. При подключении к стержням источника тока с внутренним сопротивлением $r = 0,1$ Ом перемычка начинает скользить вдоль них, трогаясь с места с ускорением $a = 0,1$ м/$c^2$. Какой максимальной скорости может достичь перемычка? Сопротивлением стержней, перемычки и контактов пренебречь.

Решение.

Дано:

$l = 0,1$ м

$B = 0,1$ Тл

$m = 0,1$ кг

$r = 0,1$ Ом

$a = 0,1$ м/с² (начальное ускорение)

Найти:

$v_{max}$ - ?

Решение:

В начальный момент времени, когда перемычка покоится (скорость $v = 0$), в ней не возникает ЭДС индукции. Сила тока в цепи, создаваемая источником с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $\text{r}$, определяется законом Ома для полной цепи (сопротивлением стержней и перемычки пренебрегаем):

$I_0 = \frac{\mathcal{E}}{r}$

На перемычку с током $I_0$ в магнитном поле действует сила Ампера $F_{A0}$. Так как поле вертикально, а ток горизонтален, сила Ампера будет направлена горизонтально вдоль стержней:

$F_{A0} = I_0 B l = \frac{\mathcal{E} B l}{r}$

Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает перемычке начальное ускорение $\text{a}$:

$F_{A0} = m a$

Приравнивая два выражения для силы Ампера, получаем:

$\frac{\mathcal{E} B l}{r} = m a$

Из этого уравнения мы можем выразить неизвестную ЭДС источника тока $\mathcal{E}$:

$\mathcal{E} = \frac{m a r}{B l}$

Когда перемычка начинает двигаться со скоростью $\text{v}$, в ней возникает ЭДС индукции $\mathcal{E}_{ind}$. Согласно правилу Ленца, эта ЭДС будет направлена так, чтобы противодействовать причине, её вызвавшей, то есть движению. Следовательно, $\mathcal{E}_{ind}$ направлена против ЭДС источника $\mathcal{E}$.

$\mathcal{E}_{ind} = B l v$

Полная ЭДС в цепи становится равной $\mathcal{E}_{net} = \mathcal{E} - \mathcal{E}_{ind} = \mathcal{E} - B l v$. Ток в цепи теперь зависит от скорости:

$I(v) = \frac{\mathcal{E}_{net}}{r} = \frac{\mathcal{E} - B l v}{r}$

Сила Ампера, действующая на перемычку, также уменьшается с ростом скорости:

$F_A(v) = I(v) B l = \frac{(\mathcal{E} - B l v) B l}{r}$

Перемычка достигнет максимальной скорости $v_{max}$ тогда, когда её ускорение станет равным нулю. Поскольку трение не учитывается, это произойдет, когда движущая сила Ампера станет равной нулю, то есть $F_A(v_{max}) = 0$.

$\frac{(\mathcal{E} - B l v_{max}) B l}{r} = 0$

Это равенство выполняется при условии $\mathcal{E} - B l v_{max} = 0$. Отсюда находим выражение для максимальной скорости:

$v_{max} = \frac{\mathcal{E}}{B l}$

Теперь подставим в это выражение формулу для $\mathcal{E}$, которую мы вывели ранее:

$v_{max} = \frac{m a r / (B l)}{B l} = \frac{m a r}{(B l)^2}$

Выполним вычисления, подставив числовые значения из условия задачи:

$v_{max} = \frac{0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1}{(0,1 \cdot 0,1)^2} = \frac{0,001}{(0,01)^2} = \frac{0,001}{0,0001} = 10 \text{ м/с}$

Ответ:

Максимальная скорость, которую может достичь перемычка, равна 10 м/с.