Номер 3.140, страница 77 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Электромагнитная индукция в движущемся проводнике - номер 3.140, страница 77.

Условие.

3.140**. Квадратную рамку из медной проволоки со стороной $b = 5$ см перемещают вдоль оси $\text{OX}$ по гладкой горизонтальной поверхности с постоянной скоростью $v = 1$ м/с. Начальное положение рамки изображено на рисунке 3.69. За время движения рамка успевает пройти между полюсами магнита и оказаться в области, где магнитное поле отсутствует. Ширина полюсов магнита $d = 20$ см, магнитное поле имеет резкую границу и однородно между полюсами, а его индукция $B = 1$ Тл. Возникающие в рамке индукционные токи нагревают проволоку, в которой за всё время движения выделяется количество теплоты $Q = 2,5 \cdot 10^{-3}$ Дж. Чему равно сопротивление проволоки рамки?

Рис. 3.69

Решение.

Дано:

$b = 5 \text{ см} = 0,05 \text{ м}$

$v = 1 \text{ м/с}$

$d = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$

$B = 1 \text{ Тл}$

$Q = 2,5 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}$

Найти:

$\text{R}$ - ?

Решение:

Индукционный ток в рамке возникает только тогда, когда изменяется магнитный поток, пронизывающий ее. Это происходит в два этапа: когда рамка входит в магнитное поле и когда выходит из него. Когда рамка движется полностью внутри однородного магнитного поля, магнитный поток через нее постоянен, и индукционный ток не возникает, следовательно, теплота не выделяется.

1. Вхождение рамки в магнитное поле.

Когда рамка входит в магнитное поле, магнитный поток через нее увеличивается. По закону электромагнитной индукции Фарадея, возникающая ЭДС индукции $ε$ по модулю равна скорости изменения магнитного потока:

$ε_1 = \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$

Магнитный поток $\Phi = B \cdot S$, где $\text{S}$ - площадь части рамки, находящейся в поле. Если рамка вошла в поле на глубину $\text{x}$, то $S = b \cdot x$. Тогда $\Phi = B \cdot b \cdot x$.

Поскольку рамка движется с постоянной скоростью $\text{v}$, то $x = v \cdot t$. Скорость изменения потока постоянна и равна:

$ε_1 = \frac{d\Phi}{dt} = \frac{d(B \cdot b \cdot v \cdot t)}{dt} = B \cdot b \cdot v$

Эта ЭДС возникает в течение времени $t_1$, пока рамка входит в поле. Это время равно $t_1 = \frac{b}{v}$.

Мощность тока, выделяющаяся в виде тепла на этом этапе, равна $P_1 = \frac{ε_1^2}{R}$, где $\text{R}$ - сопротивление рамки. Количество теплоты, выделившееся при входе:

$Q_1 = P_1 \cdot t_1 = \frac{(B \cdot b \cdot v)^2}{R} \cdot \frac{b}{v} = \frac{B^2 \cdot b^3 \cdot v}{R}$

2. Выход рамки из магнитного поля.

При выходе рамки из поля магнитный поток уменьшается. Величина ЭДС индукции будет такой же:

$ε_2 = B \cdot b \cdot v$

Время выхода рамки из поля также равно $t_2 = \frac{b}{v}$.

Количество теплоты, выделившееся при выходе:

$Q_2 = P_2 \cdot t_2 = \frac{ε_2^2}{R} \cdot t_2 = \frac{(B \cdot b \cdot v)^2}{R} \cdot \frac{b}{v} = \frac{B^2 \cdot b^3 \cdot v}{R}$

3. Общее количество теплоты.

Полное количество теплоты $\text{Q}$, выделившееся за все время движения, равно сумме теплоты, выделившейся при входе и выходе:

$Q = Q_1 + Q_2 = \frac{B^2 \cdot b^3 \cdot v}{R} + \frac{B^2 \cdot b^3 \cdot v}{R} = \frac{2 \cdot B^2 \cdot b^3 \cdot v}{R}$

Из этого выражения найдем сопротивление рамки $\text{R}$:

$R = \frac{2 \cdot B^2 \cdot b^3 \cdot v}{Q}$

Подставим числовые значения:

$R = \frac{2 \cdot (1 \text{ Тл})^2 \cdot (0,05 \text{ м})^3 \cdot 1 \text{ м/с}}{2,5 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 0,000125 \text{ м}^3 \cdot 1 \text{ м/с}}{2,5 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}} = \frac{0,00025}{0,0025} \text{ Ом} = 0,1 \text{ Ом}$

Ответ: Сопротивление проволоки рамки равно $0,1 \text{ Ом}$.