Номер 3.134, страница 76 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Электромагнитная индукция в движущемся проводнике - номер 3.134, страница 76.

Условие.

3.134**. Проводящий стержень ОА вращается в плоскости, перпендикулярной линиям индукции однородного магнитного поля с индукцией $B = 1 \text{ Тл}$, с угловой скоростью $\omega = 300 \text{ рад/с}$. Свободный конец стержня скользит по дуге окружности радиусом $R = 0,1 \text{ м}$ (рис. 3.64). Между точкой С дуги и точкой О крепления стержня включена батарея с внутренним сопротивлением $r = 1 \text{ Ом}$. Определите ЭДС батареи $\mathcal{E}$, если сила тока в стержне $I = 0,5 \text{ А}$. Сопротивлением стержня, дуги и контакта пренебречь.

Рис. 3.64

Решение.

Дано:

Индукция магнитного поля, $B = 1$ Тл

Угловая скорость, $\omega = 300$ рад/с

Длина стержня (радиус), $l = 0,1$ м

Внутреннее сопротивление батареи, $r = 1$ Ом

Сила тока в стержне, $I = 0,5$ А

Найти:

ЭДС батареи, $\mathcal{E}$

Решение:

При вращении проводящего стержня ОА в однородном магнитном поле в нем возникает ЭДС индукции. Для стержня длиной $\text{l}$, вращающегося с угловой скоростью $\omega$ вокруг одного из своих концов в магнитном поле с индукцией $\text{B}$, перпендикулярной плоскости вращения, величина ЭДС индукции рассчитывается по формуле:

$\mathcal{E}_{ind} = \frac{B \omega l^2}{2}$

Подставим известные значения:

$\mathcal{E}_{ind} = \frac{1 \cdot 300 \cdot (0,1)^2}{2} = \frac{300 \cdot 0,01}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$ В.

Направление индуцированной ЭДС определим по правилу правой руки. Сила Лоренца $\vec{F}_L = q(\vec{v} \times \vec{B})$, действующая на положительные заряды в стержне, направлена от конца A к центру вращения O. Это означает, что точка O приобретает более высокий потенциал по сравнению с точкой A. Таким образом, индуцированная ЭДС $\mathcal{E}_{ind}$ направлена от A к O.

В цепь между точками O и C включена батарея с ЭДС $\mathcal{E}$. Согласно схеме, ее положительный полюс подключен к точке O, а отрицательный — к точке C. Следовательно, ЭДС батареи $\mathcal{E}$ и индуцированная ЭДС $\mathcal{E}_{ind}$ включены в цепь встречно (положительными полюсами друг к другу).

Запишем закон Ома для замкнутой цепи. Суммарная ЭДС в цепи равна модулю разности встречно направленных ЭДС: $\mathcal{E}_{общ} = |\mathcal{E} - \mathcal{E}_{ind}|$. Полное сопротивление цепи равно внутреннему сопротивлению батареи $\text{r}$, так как сопротивлением стержня, дуги и контакта пренебрегают.

Сила тока в цепи: $I = \frac{|\mathcal{E} - \mathcal{E}_{ind}|}{r}$.

Поскольку в условии задачи направление тока не указано, необходимо рассмотреть два возможных случая.

1. ЭДС батареи больше ЭДС индукции ($\mathcal{E} > \mathcal{E}_{ind}$).

В этом случае ток в цепи течет в направлении, определяемом батареей, то есть от O к A через стержень. Стержень работает в режиме электродвигателя. Закон Ома для цепи примет вид:

$I = \frac{\mathcal{E} - \mathcal{E}_{ind}}{r}$

Выразим отсюда ЭДС батареи $\mathcal{E}$:

$\mathcal{E} = \mathcal{E}_{ind} + I \cdot r = 1,5 \text{ В} + 0,5 \text{ А} \cdot 1 \text{ Ом} = 1,5 \text{ В} + 0,5 \text{ В} = 2,0 \text{ В}$.

2. ЭДС индукции больше ЭДС батареи ($\mathcal{E}_{ind} > \mathcal{E}$).

В этом случае ток в цепи течет в направлении, определяемом индуцированной ЭДС, то есть от A к O через стержень. Стержень работает в режиме генератора, и может происходить зарядка батареи. Закон Ома для цепи примет вид:

$I = \frac{\mathcal{E}_{ind} - \mathcal{E}}{r}$

Выразим отсюда ЭДС батареи $\mathcal{E}$:

$\mathcal{E} = \mathcal{E}_{ind} - I \cdot r = 1,5 \text{ В} - 0,5 \text{ А} \cdot 1 \text{ Ом} = 1,5 \text{ В} - 0,5 \text{ В} = 1,0 \text{ В}$.

Оба случая являются физически возможными. Так как направление тока не задано, задача имеет два решения.

Ответ: ЭДС батареи может быть равна 1,0 В или 2,0 В.