Номер 3.135, страница 76 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Электромагнитная индукция в движущемся проводнике - номер 3.135, страница 76.

Условие.

3.135*. По двум вертикальным проводящим рейкам (рис. 3.65), находящимся друг от друга на расстоянии $\text{l}$ и соединённым резистором сопротивлением $\text{R}$, под действием силы тяжести начинает скользить проводник массой $\text{m}$. Система находится в однородном магнитном поле с индукцией $\text{B}$, линии индукции которого перпендикулярны плоскости рисунка. Какова установившаяся скорость движения проводника, если сопротивлением проводника, реек и трением можно пренебречь?

Рис. 3.65

Решение.

Дано:

Расстояние между рейками: $\text{l}$

Сопротивление резистора: $\text{R}$

Масса проводника: $\text{m}$

Индукция магнитного поля: $\text{B}$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

Установившаяся скорость движения проводника: $\text{v}$

Решение:

Под действием силы тяжести $F_g = mg$ проводник начинает скользить вниз по вертикальным рейкам. При движении проводника со скоростью $\text{v}$ в магнитном поле в нем возникает ЭДС индукции, так как изменяется площадь контура, а следовательно, и магнитный поток через него. Величина этой ЭДС определяется по формуле:

$\mathcal{E} = B l v$

где $\text{B}$ – индукция магнитного поля, $\text{l}$ – длина проводника (расстояние между рейками), $\text{v}$ – его скорость.

Эта ЭДС создает в замкнутом контуре (проводник, рейки, резистор) индукционный ток. Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока равна:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{B l v}{R}$

По условию, сопротивлением проводника и реек можно пренебречь, поэтому общее сопротивление цепи равно $\text{R}$.

На проводник с током $\text{I}$, находящийся в магнитном поле $\text{B}$, действует сила Ампера $F_A$. Величина этой силы равна:

$F_A = B I l$

Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки. Ток в проводнике течет так, чтобы своим магнитным полем противодействовать изменению внешнего магнитного потока (правило Ленца). Поскольку проводник движется вниз, площадь контура уменьшается, и магнитный поток (направленный из плоскости рисунка) также уменьшается. Индукционный ток создаст магнитное поле, направленное также из плоскости рисунка, то есть ток будет течь от точки N к точке M. Применяя правило левой руки, находим, что сила Ампера $F_A$ направлена вертикально вверх, то есть против направления движения проводника.

Уравнение движения проводника согласно второму закону Ньютона имеет вид:

$ma = F_g - F_A$

$ma = mg - B I l$

Подставим выражение для силы тока $\text{I}$:

$ma = mg - B \left(\frac{B l v}{R}\right) l = mg - \frac{B^2 l^2 v}{R}$

В начале движения скорость $\text{v}$ мала, и сила тяжести больше силы Ампера, поэтому проводник ускоряется. По мере увеличения скорости $\text{v}$ растет и сила Ампера $F_A$. Движение станет равномерным, когда ускорение $\text{a}$ станет равно нулю. Это произойдет при достижении установившейся скорости $\text{v}$. В этот момент сила тяжести будет полностью уравновешена силой Ампера:

$F_g = F_A$

$mg = \frac{B^2 l^2 v}{R}$

Выразим из этого уравнения установившуюся скорость $\text{v}$:

$v = \frac{mgR}{B^2 l^2}$

Ответ: Установившаяся скорость движения проводника равна $v = \frac{mgR}{B^2 l^2}$.