Номер 3.133, страница 75 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Электромагнитная индукция в движущемся проводнике - номер 3.133, страница 75.

Условие.

3.133**. Металлический стержень длиной $\text{L}$ вращается в горизонтальной плоскости в вертикальном однородном магнитном поле с индукцией $\text{B}$ вокруг оси, проходящей через конец стержня, с частотой обращения $\text{v}$ (рис. 3.63). Определите:

a) значение ЭДС индукции, возникающей в стержне;

б) положительный или отрицательный заряд находится на конце $\text{A}$ стержня.

Рис. 3.63

Решение.

Дано:

Длина стержня: $\text{L}$

Индукция магнитного поля: $\text{B}$

Частота обращения: $\nu$

Найти:

а) $\mathcal{E}$ - ЭДС индукции

б) Знак заряда на конце A

Решение:

а) значение ЭДС индукции, возникающей в стержне

ЭДС индукции в стержне возникает из-за действия силы Лоренца на свободные электроны в металле. Рассмотрим небольшой элемент стержня длиной $\text{dr}$, находящийся на расстоянии $\text{r}$ от оси вращения O. Скорость этого элемента $\text{v}$ направлена по касательной к окружности радиуса $\text{r}$ и по модулю равна:

$v = \omega r = 2\pi\nu r$

где $\omega$ - угловая скорость вращения.

На свободные заряды $\text{q}$ (электроны) в этом элементе действует сила Лоренца $\vec{F_L} = q(\vec{v} \times \vec{B})$. Так как вектор скорости $\vec{v}$ лежит в горизонтальной плоскости, а вектор индукции $\vec{B}$ направлен вертикально, угол между ними равен $90^\circ$. Сила Лоренца направлена вдоль стержня и ее модуль равен:

$F_L = q v B = q (2\pi\nu r) B$

Эта сила вызывает разделение зарядов и создает внутри стержня электрическое поле. Элементарная ЭДС индукции $d\mathcal{E}$ на участке $\text{dr}$ равна работе сторонних сил (силы Лоренца) по перемещению единичного положительного заряда на этом участке:

$d\mathcal{E} = \frac{F_L dr}{q} = (2\pi\nu r B) dr$

Полная ЭДС индукции в стержне находится путем интегрирования этого выражения по всей длине стержня от $r=0$ (точка O) до $r=L$ (точка A):

$\mathcal{E} = \int_0^L d\mathcal{E} = \int_0^L 2\pi\nu B r dr = 2\pi\nu B \int_0^L r dr$

$\mathcal{E} = 2\pi\nu B \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^L = 2\pi\nu B \left( \frac{L^2}{2} - 0 \right) = \pi\nu B L^2$

Ответ: $\mathcal{E} = \pi\nu B L^2$

б) положительный или отрицательный заряд находится на конце А стержня

Определим направление силы Лоренца, действующей на свободные электроны в стержне. Направление силы определяется векторным произведением $\vec{v} \times \vec{B}$ и знаком заряда. Воспользуемся правилом правой руки для определения направления вектора $\vec{v} \times \vec{B}$. Если расположить пальцы правой руки по направлению скорости $\vec{v}$ (по касательной к траектории) и поворачивать их к вектору магнитной индукции $\vec{B}$ (вертикально вверх), то большой палец укажет направление силы, действующей на положительный заряд. Эта сила будет направлена вдоль стержня от конца А к центру вращения O.

Однако носителями свободного заряда в металлическом стержне являются электроны, заряд которых отрицателен ($q = -e$). Следовательно, сила Лоренца, действующая на электроны, будет направлена в противоположную сторону, то есть от центра вращения O к свободному концу А.

$\vec{F_L} = -e(\vec{v} \times \vec{B})$

Под действием этой силы электроны будут смещаться к концу А, создавая на нем избыток отрицательного заряда. На конце O, соответственно, возникнет недостаток электронов, и он зарядится положительно.

Ответ: На конце А стержня находится отрицательный заряд.