Номер 3.137, страница 76 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Электромагнитная индукция в движущемся проводнике - номер 3.137, страница 76.

Условие.

3.137**. По двум проводящим рейкам, расположенным в горизонтальной плоскости и замкнутым на конденсатор ёмкостью C, может без трения двигаться металлический стержень массой m и длиной l. Вся система находится в вертикальном магнитном поле с индукцией B (рис. 3.66). К середине стержня перпендикулярно ему и параллельно рейкам приложена сила F. Определите ускорение стержня. Начальная скорость стержня равна нулю. Сопротивлением стержня и реек можно пренебречь.

Рис. 3.66

Решение.

Дано:

Ёмкость конденсатора: $\text{C}$

Масса стержня: $\text{m}$

Длина стержня: $\text{l}$

Индукция магнитного поля: $\text{B}$

Приложенная сила: $\text{F}$

Начальная скорость: $v_0 = 0$

Найти:

Ускорение стержня: $\text{a}$

Решение:

На стержень, движущийся с ускорением $\text{a}$, действуют две горизонтальные силы: приложенная внешняя сила $\text{F}$ и сила Ампера $F_A$, которая возникает из-за протекания тока по стержню в магнитном поле. Согласно второму закону Ньютона:

$m \cdot a = F - F_A$

Сила Ампера направлена против движения (согласно правилу Ленца) и определяется выражением:

$F_A = I \cdot B \cdot l$

где $\text{I}$ — сила тока в стержне.

При движении стержня со скоростью $\text{v}$ в магнитном поле в нём возникает ЭДС индукции:

$\mathcal{E} = B \cdot l \cdot v$

Эта ЭДС заряжает конденсатор, поэтому напряжение на конденсаторе $U_C$ равно ЭДС индукции:

$U_C = \mathcal{E} = B \cdot l \cdot v$

Заряд на конденсаторе в любой момент времени $\text{t}$ равен:

$q = C \cdot U_C = C \cdot B \cdot l \cdot v$

Сила тока $\text{I}$ в цепи определяется как производная заряда по времени:

$I = \frac{dq}{dt} = \frac{d}{dt}(C \cdot B \cdot l \cdot v)$

Поскольку $\text{C}$, $\text{B}$ и $\text{l}$ являются постоянными величинами, их можно вынести за знак производной:

$I = C \cdot B \cdot l \cdot \frac{dv}{dt}$

Производная скорости по времени $\frac{dv}{dt}$ есть ускорение стержня $\text{a}$. Таким образом, сила тока пропорциональна ускорению:

$I = C \cdot B \cdot l \cdot a$

Теперь подставим это выражение для тока в формулу для силы Ампера:

$F_A = (C \cdot B \cdot l \cdot a) \cdot B \cdot l = C \cdot B^2 \cdot l^2 \cdot a$

Наконец, подставим полученное выражение для силы Ампера во второй закон Ньютона:

$m \cdot a = F - C \cdot B^2 \cdot l^2 \cdot a$

Перегруппируем слагаемые, чтобы выразить ускорение $\text{a}$:

$m \cdot a + C \cdot B^2 \cdot l^2 \cdot a = F$

$a \cdot (m + C \cdot B^2 \cdot l^2) = F$

Отсюда находим ускорение стержня:

$a = \frac{F}{m + C \cdot B^2 \cdot l^2}$

Поскольку все величины в правой части уравнения постоянны, ускорение стержня также является постоянным.

Ответ: $a = \frac{F}{m + C B^2 l^2}$