Номер 3.138, страница 77 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Электромагнитная индукция в движущемся проводнике - номер 3.138, страница 77.

Условие.

3.138**. Проводник длиной $l = 10 \text{ см}$ и массой $m = 1 \text{ г}$ равномерно скользит вниз (без трения и нарушения контакта) по двум вертикальным шинам в однородном горизонтальном магнитном поле с индукцией $B = 1 \text{ Тл}$ (рис. 3.67). Внизу шины замкнуты резистором сопротивлением $R = 1 \text{ Ом}$. Параллельно резистору подключён конденсатор ёмкостью $C = 100 \text{ мкФ}$. Рассчитайте максимальную энергию электрического поля, запасённую в конденсаторе. Сопротивлением шин и проводника пренебречь.

Рис. 3.67

Решение.

Дано:

$l = 10 \text{ см}$

$m = 1 \text{ г}$

$B = 1 \text{ Тл}$

$R = 1 \text{ Ом}$

$C = 100 \text{ мкФ}$

Перевод в систему СИ:

$l = 0.1 \text{ м}$

$m = 1 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

$C = 100 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 10^{-4} \text{ Ф}$

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

Найти:

$W_{C_{max}}$ - максимальную энергию электрического поля, запасённую в конденсаторе.

Решение:

Когда проводник скользит вниз, на него действуют две основные силы по вертикали: сила тяжести $F_g$, направленная вниз, и сила Ампера $F_A$, направленная вверх. Сила трения отсутствует по условию.

Движение проводника в магнитном поле индуцирует ЭДС индукции $ε_{ind}$, равную:

$ε_{ind} = B l v$

где $\text{v}$ - скорость проводника.

Эта ЭДС приложена к параллельно соединенным резистору $\text{R}$ и конденсатору $\text{C}$. Общий ток $\text{I}$, протекающий через проводник, равен сумме токов через резистор ($I_R$) и конденсатор ($I_C$):

$I = I_R + I_C$

Сила Ампера, действующая на проводник, равна:

$F_A = I B l = (I_R + I_C) B l$

По условию, проводник скользит равномерно. Это означает, что его скорость $\text{v}$ постоянна, а ускорение $a = 0$. Согласно второму закону Ньютона, это возможно только если сумма всех сил, действующих на проводник, равна нулю. Таким образом, сила Ампера уравновешивает силу тяжести:

$F_A = F_g$

$I B l = m g$

Из этого уравнения можно выразить общий ток в проводнике:

$I = \frac{mg}{Bl}$

Поскольку скорость проводника постоянна ($v = \text{const}$), то и ЭДС индукции $ε_{ind} = B l v$ также постоянна. Напряжение на клеммах цепи $\text{U}$ равно ЭДС индукции ($U=ε_{ind}$). Так как напряжение на конденсаторе постоянно, он полностью заряжен, и ток через него не течет:

$I_C = C \frac{dU}{dt} = 0$

Следовательно, весь ток $\text{I}$ течет через резистор: $I = I_R$. Напряжение на резисторе (и на конденсаторе, так как они соединены параллельно) равно:

$U = I_R \cdot R = I \cdot R = \frac{mgR}{Bl}$

Это напряжение является максимальным, так как оно соответствует установившемуся режиму равномерного движения. Энергия электрического поля, запасённая в конденсаторе, вычисляется по формуле:

$W_C = \frac{C U^2}{2}$

Подставим выражение для напряжения $\text{U}$, чтобы найти максимальную энергию:

$W_{C_{max}} = \frac{C}{2} \left( \frac{mgR}{Bl} \right)^2$

Теперь подставим числовые значения:

$W_{C_{max}} = \frac{10^{-4}}{2} \left( \frac{10^{-3} \cdot 9.8 \cdot 1}{1 \cdot 0.1} \right)^2 = 0.5 \cdot 10^{-4} \cdot \left( \frac{0.0098}{0.1} \right)^2$

$W_{C_{max}} = 0.5 \cdot 10^{-4} \cdot (0.098)^2 = 0.5 \cdot 10^{-4} \cdot 0.009604$

$W_{C_{max}} \approx 0.004802 \cdot 10^{-4} \text{ Дж} \approx 4.8 \cdot 10^{-7} \text{ Дж}$

Эту величину можно выразить в микроджоулях: $4.8 \cdot 10^{-7} \text{ Дж} = 0.48 \text{ мкДж}$.

Ответ: Максимальная энергия электрического поля, запасённая в конденсаторе, составляет $W_{C_{max}} \approx 4.8 \cdot 10^{-7}$ Дж (или 0.48 мкДж).