Номер 3.148, страница 79 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Явление самоиндукции - номер 3.148, страница 79.

Условие.

3.148. В катушке длиной 20 см и диаметром 3 см, имеющей 400 витков, сила тока 2 А. Найдите:

а) индуктивность катушки;

б) магнитный поток, пронизывающий сечение катушки.

Решение.

Дано:

$l = 20 \text{ см}$

$d = 3 \text{ см}$

$N = 400 \text{ витков}$

$I = 2 \text{ А}$

$\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Гн/м}$ (магнитная постоянная)

Примем, что катушка без сердечника, поэтому относительная магнитная проницаемость среды $\mu = 1$.

Перевод в систему СИ:

$l = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

$d = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

а) $\text{L}$ - ?

б) $\Phi$ - ?

Решение:

а) индуктивность катушки

Индуктивность длинного соленоида (катушки) можно рассчитать по формуле:

$L = \frac{\mu \mu_0 N^2 S}{l}$

где $\text{S}$ - площадь поперечного сечения катушки. Найдем площадь сечения:

$S = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi (0.03 \text{ м})^2}{4} = \frac{\pi \cdot 0.0009 \text{ м}^2}{4} \approx 7.07 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Теперь подставим все значения в формулу для индуктивности:

$L = \frac{1 \cdot 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Гн/м} \cdot (400)^2 \cdot 7.07 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2}{0.2 \text{ м}} = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 160000 \cdot 7.07 \cdot 10^{-4}}{0.2} \text{ Гн}$

$L \approx \frac{1.42 \cdot 10^{-3}}{0.2} \text{ Гн} \approx 7.1 \cdot 10^{-4} \text{ Гн} = 0.71 \text{ мГн}$

Ответ: индуктивность катушки составляет примерно $0.71 \text{ мГн}$.

б) магнитный поток, пронизывающий сечение катушки

Магнитный поток $\Phi$, пронизывающий один виток катушки (ее сечение), определяется по формуле:

$\Phi = B \cdot S$

где $\text{B}$ - индукция магнитного поля внутри соленоида. Индукция однородного магнитного поля внутри длинного соленоида равна:

$B = \mu \mu_0 \frac{N}{l} I$

Вычислим значение магнитной индукции:

$B = 1 \cdot 4\pi \cdot 10^{-7} \frac{\text{Гн}}{\text{м}} \cdot \frac{400}{0.2 \text{ м}} \cdot 2 \text{ А} = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 2000 \cdot 2 \frac{\text{А}}{\text{м}} = 16\pi \cdot 10^{-4} \text{ Тл} \approx 5.03 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}$

Теперь можем найти магнитный поток, используя вычисленное ранее значение площади $\text{S}$:

$\Phi = B \cdot S \approx 5.03 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} \cdot 7.07 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 \approx 3.55 \cdot 10^{-6} \text{ Вб} = 3.55 \text{ мкВб}$

Также можно найти поток через индуктивность: $\Phi = \frac{LI}{N}$.

$\Phi = \frac{7.1 \cdot 10^{-4} \text{ Гн} \cdot 2 \text{ А}}{400} = \frac{1.42 \cdot 10^{-3}}{400} \text{ Вб} \approx 3.55 \cdot 10^{-6} \text{ Вб} = 3.55 \text{ мкВб}$

Ответ: магнитный поток, пронизывающий сечение катушки, равен примерно $3.55 \text{ мкВб}$.