Номер 3.150, страница 79 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Явление самоиндукции - номер 3.150, страница 79.

Условие.

3.150*. Короткозамкнутую катушку индуктивностью $2 \text{ Гн}$, содержащую 200 витков площадью $50 \text{ см}^2$, помещают в однородное магнитное поле с индукцией $60 \text{ мТл}$ так, что ось катушки параллельна линиям индукции. Обмотку катушки охлаждают до сверхпроводящего состояния, а затем поворачивают катушку на $60^\circ$ относительно оси, лежащей в плоскости витка. Какова сила тока, возникающего в катушке?

Решение.

Дано:

$L = 2$ Гн

$N = 200$

$S = 50 \text{ см}^2$

$B = 60 \text{ мТл}$

$\alpha_1 = 0^\circ$

$\alpha_2 = 60^\circ$

Перевод в систему СИ:

$S = 50 \text{ см}^2 = 50 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$

$B = 60 \text{ мТл} = 60 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} = 6 \cdot 10^{-2} \text{ Тл}$

Найти:

$I - ?$

Решение:

Когда обмотку катушки охлаждают до сверхпроводящего состояния, ее сопротивление становится равным нулю ($R=0$). Для замкнутого сверхпроводящего контура выполняется закон сохранения магнитного потока. Это означает, что полный магнитный поток $\Phi_{полн}$, пронизывающий катушку, остается постоянным при любых изменениях внешнего магнитного поля или положения катушки.

Полный магнитный поток состоит из потока внешнего магнитного поля $\Phi_B$ и потока собственного магнитного поля катушки (потока самоиндукции) $\Phi_L$:

$\Phi_{полн} = \Phi_B + \Phi_L$

Поток внешнего поля определяется как $\Phi_B = N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ - угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости витка. Поток самоиндукции равен $\Phi_L = L \cdot I$.

В начальном состоянии (до поворота) ось катушки параллельна линиям индукции, следовательно, угол $\alpha_1 = 0^\circ$. Ток в катушке отсутствует, $I_1 = 0$. Начальный полный магнитный поток равен:

$\Phi_1 = N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\alpha_1) + L \cdot I_1 = N \cdot B \cdot S \cdot \cos(0^\circ) + 0 = N \cdot B \cdot S$

После поворота катушки на угол $60^\circ$ угол между нормалью и вектором индукции становится $\alpha_2 = 60^\circ$. В катушке возникает индукционный ток $\text{I}$, который создает собственный магнитный поток, компенсирующий изменение потока внешнего поля. Полный магнитный поток в конечном состоянии:

$\Phi_2 = N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\alpha_2) + L \cdot I$

Согласно закону сохранения магнитного потока для сверхпроводящего контура, $\Phi_1 = \Phi_2$:

$N \cdot B \cdot S = N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\alpha_2) + L \cdot I$

Выразим отсюда силу тока $\text{I}$:

$L \cdot I = N \cdot B \cdot S - N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\alpha_2)$

$L \cdot I = N \cdot B \cdot S \cdot (1 - \cos(\alpha_2))$

$I = \frac{N \cdot B \cdot S \cdot (1 - \cos(\alpha_2))}{L}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$\cos(60^\circ) = 0.5$

$I = \frac{200 \cdot 6 \cdot 10^{-2} \text{ Тл} \cdot 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2 \cdot (1 - 0.5)}{2 \text{ Гн}} = \frac{12 \cdot 5 \cdot 10^{-3} \cdot 0.5}{2} = \frac{60 \cdot 10^{-3} \cdot 0.5}{2} = \frac{30 \cdot 10^{-3}}{2} = 15 \cdot 10^{-3} \text{ А} = 0.015 \text{ А}$

Ответ: $I = 0.015 \text{ А}$.