Номер 5.114, страница 119 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Активное и реактивное сопротивления. Закон Ома для цепи переменного тока - номер 5.114, страница 119.

Условие.

5.114. Сила тока на участке цепи с конденсатором ёмкостью 2 мкФ изменяется по закону $i = 0,2\sin 100t$ (А). Найдите:

а) ёмкостное сопротивление конденсатора;

б) уравнение зависимости напряжения от времени;

в) сдвиг фаз между силой тока и напряжением.

Решение.

Дано:

$C = 2 \text{ мкФ} = 2 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

$i(t) = 0,2 \sin(100t) \text{ (А)}$

Найти:

а) $X_C$ - ?

б) $u(t)$ - ?

в) $\Delta\phi$ - ?

Решение:

Из уравнения зависимости силы тока от времени $i(t) = 0,2 \sin(100t)$ можно определить амплитудное значение силы тока $I_m$ и циклическую частоту $\omega$.

Общий вид уравнения: $i(t) = I_m \sin(\omega t + \phi_0)$, где $I_m$ - амплитуда тока, $\omega$ - циклическая частота, $\phi_0$ - начальная фаза.

Сравнивая с заданным уравнением, получаем:

$I_m = 0,2 \text{ А}$

$\omega = 100 \text{ рад/с}$

а) ёмкостное сопротивление конденсатора

Ёмкостное сопротивление $X_C$ в цепи переменного тока вычисляется по формуле:

$X_C = \frac{1}{\omega C}$

Подставим известные значения:

$X_C = \frac{1}{100 \text{ рад/с} \cdot 2 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{1}{200 \cdot 10^{-6}} \text{ Ом} = \frac{1}{2 \cdot 10^{-4}} \text{ Ом} = 0,5 \cdot 10^4 \text{ Ом} = 5000 \text{ Ом} = 5 \text{ кОм}$

Ответ: ёмкостное сопротивление конденсатора равно $5000 \text{ Ом}$ (или $5 \text{ кОм}$).

б) уравнение зависимости напряжения от времени

В цепи с конденсатором колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе от колебаний силы тока на $\frac{\pi}{2}$.

Уравнение зависимости напряжения от времени имеет вид:

$u(t) = U_m \sin(\omega t - \frac{\pi}{2})$

Амплитудное значение напряжения $U_m$ можно найти, используя закон Ома для участка цепи переменного тока:

$U_m = I_m \cdot X_C$

Подставим значения $I_m$ и $X_C$:

$U_m = 0,2 \text{ А} \cdot 5000 \text{ Ом} = 1000 \text{ В}$

Теперь запишем уравнение для $u(t)$:

$u(t) = 1000 \sin(100t - \frac{\pi}{2})$ (В)

Используя тригонометрическое тождество $\sin(x - \frac{\pi}{2}) = -\cos(x)$, уравнение можно также записать в виде:

$u(t) = -1000 \cos(100t)$ (В)

Ответ: уравнение зависимости напряжения от времени $u(t) = 1000 \sin(100t - \frac{\pi}{2})$ (В).

в) сдвиг фаз между силой тока и напряжением

Фаза колебаний силы тока $\phi_i = 100t$.

Фаза колебаний напряжения $\phi_u = 100t - \frac{\pi}{2}$.

Сдвиг фаз $\Delta\phi$ определяется как разность фаз напряжения и тока:

$\Delta\phi = \phi_u - \phi_i = (100t - \frac{\pi}{2}) - 100t = -\frac{\pi}{2} \text{ рад}$

Знак "минус" означает, что колебания напряжения отстают по фазе от колебаний силы тока на $\frac{\pi}{2}$ радиан (или на 90°).

Ответ: сдвиг фаз между силой тока и напряжением составляет $-\frac{\pi}{2} \text{ рад}$.