Номер 5.115, страница 119 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Активное и реактивное сопротивления. Закон Ома для цепи переменного тока - номер 5.115, страница 119.

Условие.

5.115. Конденсатор включён в цепь переменного тока стандартной частоты. Действующее значение напряжения в сети 220 В. Действующее значение силы тока в цепи 2,5 А. Найдите:

а) ёмкость конденсатора;

б) уравнение зависимости напряжения от времени;

в) уравнение зависимости силы тока от времени.

Решение.

Дано

Действующее значение напряжения $U = 220$ В

Действующее значение силы тока $I = 2,5$ А

Стандартная частота переменного тока $f = 50$ Гц

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

а) ёмкость конденсатора $\text{C}$

б) уравнение зависимости напряжения от времени $u(t)$

в) уравнение зависимости силы тока от времени $i(t)$

Решение

а) ёмкость конденсатора

Ёмкостное сопротивление конденсатора $X_C$ в цепи переменного тока определяется по закону Ома для участка цепи, используя действующие (эффективные) значения напряжения и силы тока: $X_C = \frac{U}{I}$

Подставляем числовые значения: $X_C = \frac{220 \text{ В}}{2,5 \text{ А}} = 88$ Ом.

Ёмкостное сопротивление также связано с ёмкостью конденсатора $\text{C}$ и циклической (угловой) частотой тока $\omega$ соотношением: $X_C = \frac{1}{\omega C}$

Циклическая частота $\omega$ связана с линейной частотой $\text{f}$ формулой: $\omega = 2\pi f$

Для стандартной частоты $f = 50$ Гц: $\omega = 2\pi \cdot 50 \text{ Гц} = 100\pi$ рад/с.

Теперь можем выразить и найти ёмкость конденсатора: $C = \frac{1}{\omega X_C} = \frac{1}{100\pi \cdot 88} = \frac{1}{8800\pi}$ Ф.

Вычислим приближенное значение: $C \approx \frac{1}{8800 \cdot 3,1416} \approx 3,617 \cdot 10^{-5}$ Ф, что равно $36,17$ мкФ.

Ответ: ёмкость конденсатора $C = \frac{1}{8800\pi}$ Ф $\approx 36,2$ мкФ.

б) уравнение зависимости напряжения от времени

Уравнение зависимости напряжения от времени для синусоидального тока имеет вид: $u(t) = U_m \sin(\omega t + \phi_0)$ , где $U_m$ — амплитудное значение напряжения, $\omega$ — циклическая частота, $\phi_0$ — начальная фаза.

Амплитудное значение напряжения $U_m$ связано с действующим значением $\text{U}$ соотношением: $U_m = U \sqrt{2} = 220\sqrt{2}$ В. $U_m \approx 220 \cdot 1,414 \approx 311$ В.

Циклическая частота $\omega = 100\pi$ рад/с.

Примем начальную фазу колебаний напряжения равной нулю ($\phi_0 = 0$). Тогда уравнение примет вид: $u(t) = 220\sqrt{2} \sin(100\pi t)$.

Ответ: уравнение зависимости напряжения от времени: $u(t) = 220\sqrt{2} \sin(100\pi t)$ (В).

в) уравнение зависимости силы тока от времени

Уравнение зависимости силы тока от времени имеет вид: $i(t) = I_m \sin(\omega t + \phi)$ , где $I_m$ — амплитудное значение силы тока, $\omega$ — циклическая частота, $\phi$ — фаза.

Амплитудное значение силы тока $I_m$ связано с действующим значением $\text{I}$: $I_m = I \sqrt{2} = 2,5\sqrt{2}$ А. $I_m \approx 2,5 \cdot 1,414 \approx 3,54$ А.

В цепи с идеальным конденсатором колебания силы тока опережают колебания напряжения по фазе на $\frac{\pi}{2}$. Поскольку мы приняли начальную фазу напряжения равной нулю, начальная фаза тока будет $\phi = \phi_0 + \frac{\pi}{2} = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

Следовательно, уравнение зависимости силы тока от времени: $i(t) = 2,5\sqrt{2} \sin(100\pi t + \frac{\pi}{2})$.

Используя тригонометрическое тождество $\sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = \cos(\alpha)$, уравнение можно записать в виде: $i(t) = 2,5\sqrt{2} \cos(100\pi t)$.

Ответ: уравнение зависимости силы тока от времени: $i(t) = 2,5\sqrt{2} \sin(100\pi t + \frac{\pi}{2})$ (А).