Номер 7.190, страница 172 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Линзы - номер 7.190, страница 172.

Условие.

7.190. Расстояние от предмета до экрана $90 \text{ см}$. Где надо поместить между ними собирающую линзу с фокусным расстоянием $20 \text{ см}$, чтобы получить на экране отчётливое изображение предмета?

Решение.

Дано:

Расстояние от предмета до экрана, $L = 90$ см.

Фокусное расстояние собирающей линзы, $F = 20$ см.

Перевод в систему СИ:

$L = 0.9$ м

$F = 0.2$ м

Найти:

Расстояние от предмета до линзы, $\text{d}$ — ?

Решение:

Для получения чёткого (действительного) изображения на экране используется формула тонкой собирающей линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

где $\text{d}$ — расстояние от предмета до линзы, $\text{f}$ — расстояние от линзы до изображения (экрана), $\text{F}$ — фокусное расстояние линзы.

Общее расстояние от предмета до экрана $\text{L}$ складывается из расстояния от предмета до линзы $\text{d}$ и расстояния от линзы до экрана $\text{f}$:

$L = d + f$

Из этого соотношения можно выразить расстояние от линзы до экрана:

$f = L - d$

Подставим это выражение для $\text{f}$ в формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{L - d} = \frac{1}{F}$

Приведём дроби в левой части уравнения к общему знаменателю:

$\frac{(L - d) + d}{d(L - d)} = \frac{1}{F}$

$\frac{L}{d(L - d)} = \frac{1}{F}$

Используя свойство пропорции, получим:

$L \cdot F = d(L - d)$

$LF = Ld - d^2$

Перепишем уравнение в виде стандартного квадратного уравнения относительно $\text{d}$:

$d^2 - Ld + LF = 0$

Подставим в уравнение известные значения (для удобства вычислений оставим их в сантиметрах): $L=90$ см и $F=20$ см.

$d^2 - 90d + 90 \cdot 20 = 0$

$d^2 - 90d + 1800 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Сначала найдем дискриминант $\text{D}$:

$D = b^2 - 4ac = (-90)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1800 = 8100 - 7200 = 900$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$d_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{90 \pm \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{90 \pm 30}{2}$

Первый корень:

$d_1 = \frac{90 + 30}{2} = \frac{120}{2} = 60$ см.

Второй корень:

$d_2 = \frac{90 - 30}{2} = \frac{60}{2} = 30$ см.

Оба решения физически осмысленны и представляют собой два возможных положения линзы между предметом и экраном, при которых будет получено чёткое изображение.

Ответ: чтобы получить на экране отчётливое изображение предмета, собирающую линзу надо поместить на расстоянии 30 см или 60 см от предмета.