Номер 7.197, страница 172 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Линзы - номер 7.197, страница 172.

Условие.

7.197* Точечный источник света $\text{S}$ удаляется от тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием $\text{F}$ равномерно со скоростью $\text{v}$ по прямой, параллельной главной оптической оси линзы и проходящей на расстоянии $\text{d}$ от неё (рис. 7.43). Найдите уравнения зависимости координат изображения источника от времени. В начальный момент времени источник находился в фокальной плоскости линзы.

Рис. 7.43

Решение.

Дано

Фокусное расстояние собирающей линзы: $\text{F}$

Скорость источника света: $\text{v}$

Расстояние от траектории источника до главной оптической оси: $\text{d}$

Начальное положение источника в момент времени $t=0$: фокальная плоскость.

Найти:

Уравнения зависимости координат изображения источника от времени: $x_I(t)$ и $y_I(t)$.

Решение

Введем систему координат, как показано на рисунке: начало координат $\text{O}$ находится в оптическом центре линзы, ось $\text{OX}$ совпадает с главной оптической осью, а ось $\text{OY}$ перпендикулярна ей и лежит в плоскости линзы.

Определим координаты источника света $\text{S}$ в любой момент времени $\text{t}$. Источник движется равномерно со скоростью $\text{v}$ по прямой, параллельной оси $\text{OX}$. В начальный момент времени $t=0$ источник находится в фокальной плоскости, то есть его координата по оси $\text{OX}$ равна $-F$. Так как источник удаляется от линзы (движется влево), его скорость вдоль оси $\text{OX}$ равна $-v$.

Таким образом, координата $x_S$ источника в момент времени $\text{t}$ будет:

$x_S(t) = -F - vt$

Координата $y_S$ источника остается постоянной, так как он движется параллельно главной оптической оси:

$y_S(t) = d$

Для нахождения координат изображения $(x_I, y_I)$ воспользуемся формулой тонкой линзы и формулой для поперечного увеличения.

Расстояние от предмета (источника) до линзы $\text{p}$ равно модулю его координаты $x_S$:

$p(t) = |x_S(t)| = |-F - vt| = F + vt$ (поскольку $F>0, v>0, t \ge 0$)

Формула тонкой линзы связывает расстояние от предмета до линзы $\text{p}$, расстояние от линзы до изображения $\text{q}$ и фокусное расстояние $\text{F}$:

$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{F}$

Расстояние $\text{q}$ соответствует координате изображения $x_I$. Найдем $\text{q}$ (или $x_I$):

$\frac{1}{x_I} = \frac{1}{F} - \frac{1}{p(t)} = \frac{1}{F} - \frac{1}{F+vt}$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{1}{x_I} = \frac{(F+vt) - F}{F(F+vt)} = \frac{vt}{F(F+vt)}$

Отсюда находим координату $x_I(t)$:

$x_I(t) = \frac{F(F+vt)}{vt}$

Теперь найдем координату $y_I(t)$. Поперечное увеличение линзы $\text{M}$ определяется как отношение высоты изображения $h_i$ к высоте предмета $h_o$, что в наших координатах соответствует отношению $y_I/y_S$. Также увеличение связано с расстояниями $\text{p}$ и $\text{q}$:

$M = \frac{y_I}{y_S} = -\frac{q}{p}$

Подставим известные значения $y_S = d$, $p(t) = F+vt$ и $q(t) = x_I(t) = \frac{F(F+vt)}{vt}$:

$y_I(t) = y_S \cdot \left(-\frac{q}{p}\right) = d \cdot \left(-\frac{\frac{F(F+vt)}{vt}}{F+vt}\right)$

Сократив $(F+vt)$, получим:

$y_I(t) = d \cdot \left(-\frac{F}{vt}\right) = -\frac{Fd}{vt}$

Таким образом, мы получили уравнения зависимости координат изображения от времени.

Ответ:

Координаты изображения источника изменяются со временем по законам:

$x_I(t) = \frac{F(F+vt)}{vt} = F + \frac{F^2}{vt}$

$y_I(t) = -\frac{Fd}{vt}$