Номер 7.195, страница 172 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Линзы - номер 7.195, страница 172.

Условие.

7.195*. На расстоянии $\text{L}$ перед тонкой линзой с фокусным расстоянием $\text{F}$ расположен экран с маленьким отверстием, находящимся на расстоянии $\text{d}$ от главной оптической оси линзы. На экран под углом $\alpha$ к главной оптической оси линзы падает параллельный пучок лучей света. Под каким углом $\varphi$ к главной оптической оси луч выйдет из линзы, если линза:

а) собирающая;

б) рассеивающая?

Дифракцией света пренебречь.

Решение.

Дано:

Расстояние от экрана до линзы: $\text{L}$
Фокусное расстояние линзы (абсолютное значение): $\text{F}$
Расстояние отверстия от главной оптической оси: $\text{d}$
Угол падения параллельного пучка лучей: $\alpha$

Найти:

Угол $\varphi$ выхода луча к главной оптической оси.

Решение:

Введем систему координат, в которой главная оптическая ось совпадает с осью $\text{Ox}$, а оптический центр линзы находится в начале координат ($x=0$). Плоскость линзы совпадает с плоскостью $yOz$. Экран с отверстием находится в плоскости $x=-L$.

Параллельный пучок лучей падает на экран под углом $\alpha$ к главной оптической оси. Луч, который нас интересует, проходит через отверстие в экране. Координаты этого отверстия — $(-L, d)$.

Найдем высоту $\text{h}$, на которой этот луч пересекает плоскость линзы ($x=0$). Уравнение падающего луча до линзы можно записать как $y(x) = \tan(\alpha) \cdot (x + L) + d$. При $x=0$ высота пересечения будет: $h = \tan(\alpha) \cdot (0 + L) + d = L \tan(\alpha) + d$.

Все лучи параллельного пучка, падающего на линзу под углом $\alpha$, после преломления в линзе пересекутся (или их продолжения пересекутся) в одной точке, расположенной в фокальной плоскости. Координаты этой точки $(f, y_f)$, где $\text{f}$ — фокусное расстояние линзы (положительное для собирающей и отрицательное для рассеивающей).

Чтобы найти $y_f$, рассмотрим побочный луч из того же пучка, который проходит через оптический центр линзы. Этот луч не преломляется и его уравнение после линзы $y = \tan(\alpha) \cdot x$. В фокальной плоскости $x=f$ его высота будет $y_f = f \tan(\alpha)$.

Таким образом, луч, прошедший через отверстие, после преломления в линзе выйдет из точки с координатами $(0, h)$ и пройдет через точку в фокальной плоскости с координатами $(f, f \tan(\alpha))$.

Тангенс угла $\varphi$ наклона вышедшего луча к главной оптической оси равен угловому коэффициенту прямой, проходящей через эти две точки: $\tan(\varphi) = \frac{y_f - h}{f - 0} = \frac{f \tan(\alpha) - (L \tan(\alpha) + d)}{f}$

$\tan(\varphi) = \frac{(f-L)\tan(\alpha) - d}{f} = \left(1 - \frac{L}{f}\right)\tan(\alpha) - \frac{d}{f}$

Теперь рассмотрим два случая.

а) собирающая линза:

Для собирающей линзы фокусное расстояние положительно: $f = F$. Подставим это значение в общую формулу:

$\tan(\varphi) = \left(1 - \frac{L}{F}\right)\tan(\alpha) - \frac{d}{F}$

Угол $\varphi$ равен:

$\varphi = \arctan\left(\left(1 - \frac{L}{F}\right)\tan(\alpha) - \frac{d}{F}\right)$

Ответ: $\varphi = \arctan\left(\left(1 - \frac{L}{F}\right)\tan(\alpha) - \frac{d}{F}\right)$

б) рассеивающая линза:

Для рассеивающей линзы фокусное расстояние отрицательно: $f = -F$. Подставим это значение в общую формулу:

$\tan(\varphi) = \left(1 - \frac{L}{-F}\right)\tan(\alpha) - \frac{d}{-F} = \left(1 + \frac{L}{F}\right)\tan(\alpha) + \frac{d}{F}$

Угол $\varphi$ равен:

$\varphi = \arctan\left(\left(1 + \frac{L}{F}\right)\tan(\alpha) + \frac{d}{F}\right)$

Ответ: $\varphi = \arctan\left(\left(1 + \frac{L}{F}\right)\tan(\alpha) + \frac{d}{F}\right)$