Номер 7.192, страница 172 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Линзы - номер 7.192, страница 172.

Условие.

7.192* Свеча находится на расстоянии 2 м от экрана. Линза, помещенная между ними, даёт на экране чёткое изображение при двух положениях. Какова оптическая сила линзы, если расстояние между положениями линзы равно 0,5 м?

Решение.

Дано:

Расстояние между свечой и экраном $L = 2$ м.

Расстояние между двумя положениями линзы $l = 0,5$ м.

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Оптическую силу линзы $\text{D}$.

Решение:

Формула тонкой линзы связывает расстояние от предмета до линзы $\text{d}$, расстояние от линзы до изображения $\text{f}$ и фокусное расстояние линзы $\text{F}$:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

Оптическая сила линзы $\text{D}$ — это величина, обратная фокусному расстоянию: $D = \frac{1}{F}$. Таким образом:

$D = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

Расстояние от свечи (предмета) до экрана постоянно и равно $L = d + f$.

В задаче указано, что существует два положения линзы, при которых на экране получается четкое изображение. Обозначим расстояние от свечи до линзы в первом положении как $d_1$, а расстояние от линзы до экрана как $f_1$. Тогда:

$d_1 + f_1 = L$

В силу принципа обратимости световых лучей, второе положение линзы, дающее четкое изображение, будет таким, что расстояние от свечи до линзы $d_2$ станет равным $f_1$, а расстояние от линзы до экрана $f_2$ станет равным $d_1$. То есть, $d_2 = f_1$ и $f_2 = d_1$.

Расстояние между двумя положениями линзы $\text{l}$ равно разности расстояний от свечи до линзы в этих двух положениях. Предположим, что $d_1 < d_2$. Тогда:

$l = d_2 - d_1 = f_1 - d_1$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $d_1$ и $f_1$:

$ \begin{cases} d_1 + f_1 = L \\ f_1 - d_1 = l \end{cases} $

Сложив эти два уравнения, получим:

$2f_1 = L + l \Rightarrow f_1 = \frac{L + l}{2}$

Вычтя второе уравнение из первого, получим:

$2d_1 = L - l \Rightarrow d_1 = \frac{L - l}{2}$

Теперь подставим выражения для $d_1$ и $f_1$ в формулу для оптической силы линзы:

$D = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{\frac{L - l}{2}} + \frac{1}{\frac{L + l}{2}} = \frac{2}{L - l} + \frac{2}{L + l}$

Приведем к общему знаменателю:

$D = \frac{2(L + l) + 2(L - l)}{(L - l)(L + l)} = \frac{2L + 2l + 2L - 2l}{L^2 - l^2} = \frac{4L}{L^2 - l^2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$D = \frac{4 \cdot 2}{2^2 - (0,5)^2} = \frac{8}{4 - 0,25} = \frac{8}{3,75}$

$D = \frac{8}{15/4} = \frac{32}{15} \approx 2,13$ дптр.

Ответ: оптическая сила линзы равна $D = \frac{32}{15} \text{ дптр} \approx 2,13 \text{ дптр}$.