Номер 7.193, страница 172 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Линзы - номер 7.193, страница 172.

Условие.

7.193* Тонкая линза даёт на экране изображение предмета с линейным увеличением, равным 2. Во сколько раз нужно изменить расстояние между предметом и экраном, чтобы получить на экране изображение предмета, увеличенное втрое?

Решение.

Дано:

Начальное линейное увеличение, $G_1 = 2$.

Конечное линейное увеличение, $G_2 = 3$.

Изображение действительное (получено на экране).

Найти:

Во сколько раз нужно изменить расстояние между предметом и экраном, то есть найти отношение $\frac{L_2}{L_1}$.

Решение:

Расстояние между предметом и экраном $\text{L}$ равно сумме расстояния от предмета до линзы $\text{d}$ и расстояния от линзы до изображения $\text{f}$:

$L = d + f$

Поскольку изображение действительное, оно создается собирающей линзой. Формула тонкой линзы для этого случая имеет вид:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

где $\text{F}$ — фокусное расстояние линзы.

Линейное увеличение линзы $\text{G}$ определяется как:

$G = \frac{f}{d}$

Из формулы увеличения выразим $\text{f}$ через $\text{d}$: $f = G \cdot d$.

Подставим это выражение в формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{G \cdot d} = \frac{1}{F}$

Приводя левую часть к общему знаменателю, получаем:

$\frac{G+1}{G \cdot d} = \frac{1}{F}$

Отсюда можно выразить $\text{d}$ через $\text{F}$ и $\text{G}$:

$d = F \frac{G+1}{G}$

Тогда $\text{f}$ будет равно:

$f = G \cdot d = G \cdot F \frac{G+1}{G} = F(G+1)$

Теперь найдем расстояние $\text{L}$ между предметом и экраном:

$L = d + f = F \frac{G+1}{G} + F(G+1) = F(G+1) \left( \frac{1}{G} + 1 \right) = F \frac{(G+1)^2}{G}$

Мы получили общую формулу для расстояния между предметом и экраном в зависимости от увеличения $\text{G}$ и фокусного расстояния $\text{F}$.

Рассмотрим первый случай с увеличением $G_1 = 2$:

$L_1 = F \frac{(G_1+1)^2}{G_1} = F \frac{(2+1)^2}{2} = F \frac{9}{2}$

Рассмотрим второй случай с увеличением $G_2 = 3$:

$L_2 = F \frac{(G_2+1)^2}{G_2} = F \frac{(3+1)^2}{3} = F \frac{16}{3}$

Чтобы найти, во сколько раз нужно изменить расстояние, вычислим отношение $\frac{L_2}{L_1}$:

$\frac{L_2}{L_1} = \frac{F \frac{16}{3}}{F \frac{9}{2}} = \frac{16}{3} \cdot \frac{2}{9} = \frac{32}{27}$

Так как $\frac{32}{27} > 1$, расстояние нужно увеличить.

Ответ: Расстояние между предметом и экраном нужно увеличить в $\frac{32}{27}$ раз.