Номер 7.196, страница 172 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Линзы - номер 7.196, страница 172.

Условие.

7.196*. Точечный источник света, находящийся на главной оптической оси собирающей линзы на расстоянии от неё, в 1,5 раза большем фокусного, начинает смещаться со скоростью 4 мм/с перпендикулярно оси. С какой скоростью движется изображение источника?

Решение.

Дано

Расстояние от источника до линзы: $d = 1,5F$

Скорость источника: $v_{s} = 4 \text{ мм/с}$

Перевод в СИ:

$v_{s} = 4 \cdot 10^{-3} \text{ м/с}$

Найти:

Скорость изображения источника: $v_{i}$

Решение

Для определения скорости движения изображения воспользуемся формулой тонкой линзы и формулой поперечного увеличения. Положение источника и его изображения связаны формулой тонкой собирающей линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

где $\text{F}$ – фокусное расстояние линзы, $\text{d}$ – расстояние от источника до линзы, $\text{f}$ – расстояние от линзы до изображения.

Подставим в формулу заданное расстояние до источника $d = 1,5F$, чтобы найти расстояние до изображения $\text{f}$:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{1,5F} + \frac{1}{f}$

Выразим из этого уравнения $\frac{1}{f}$:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{1,5F} = \frac{1}{F} - \frac{2}{3F} = \frac{3-2}{3F} = \frac{1}{3F}$

Отсюда следует, что расстояние от линзы до изображения равно:

$f = 3F$

Поперечное (линейное) увеличение линзы $\Gamma$ равно отношению высоты изображения $h_{i}$ к высоте предмета $h_{s}$ (их смещениям от главной оптической оси). Это отношение также равно отношению расстояния до изображения к расстоянию до предмета:

$\Gamma = \frac{h_{i}}{h_{s}} = \frac{f}{d}$

Поскольку скорость движения перпендикулярно оси есть производная от смещения по времени ($v = \frac{dh}{dt}$), то скорости источника и изображения связаны тем же соотношением, что и их смещения:

$v_{i} = \Gamma \cdot v_{s}$

Рассчитаем величину поперечного увеличения:

$\Gamma = \frac{f}{d} = \frac{3F}{1,5F} = 2$

Теперь можем найти скорость движения изображения:

$v_{i} = \Gamma \cdot v_{s} = 2 \cdot 4 \text{ мм/с} = 8 \text{ мм/с}$

Ответ: $8 \text{ мм/с}$.