Номер 7.194, страница 172 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Линзы - номер 7.194, страница 172.

Условие.

7.194*. На поверхность тонкой линзы с фокусным расстоянием $\text{F}$ падает луч света на расстоянии $\text{d}$ от центра линзы под углом $\alpha$ к её главной оптической оси. Под каким углом $\varphi$ к главной оптической оси луч выйдет из линзы, если линза:

а) собирающая;

б) рассеивающая?

Решение.

Дано:

Фокусное расстояние линзы: $\text{F}$

Расстояние от центра линзы до точки падения луча: $\text{d}$

Угол падающего луча к главной оптической оси: $\alpha$

Найти:

Угол $\phi$ вышедшего луча к главной оптической оси.

Решение:

Для определения угла вышедшего луча воспользуемся методом вспомогательного луча и введем систему координат. Пусть главная оптическая ось совпадает с осью $\text{Ox}$, а плоскость тонкой линзы — с осью $\text{Oy}$. Оптический центр линзы находится в начале координат $(0, 0)$.

Падающий луч $R_1$ попадает на линзу в точке $\text{P}$ с координатой $\text{d}$ на оси $\text{Oy}$. Угол, который этот луч составляет с главной оптической осью, равен $\alpha$. Тангенс угла наклона этого луча к оси $\text{Ox}$ равен $\tan\alpha$. Будем считать $\text{d}$ и $\alpha$ алгебраическими величинами: $d > 0$, если луч падает над осью, и $d < 0$ — если под осью; $\alpha > 0$, если луч направлен вверх (относительно оси $\text{Ox}$), и $\alpha < 0$ — если вниз.

Рассмотрим вспомогательный луч $R_2$, который параллелен падающему лучу $R_1$ и проходит через оптический центр линзы. Согласно законам геометрической оптики, луч, проходящий через оптический центр тонкой линзы, не преломляется. Следовательно, направление луча $R_2$ после прохождения линзы не изменится, и он продолжит распространяться под углом $\alpha$ к главной оптической оси.

Любые параллельные лучи, падающие на линзу, после преломления пересекаются в одной точке, лежащей в фокальной плоскости. Фокальная плоскость перпендикулярна главной оптической оси и проходит через фокус линзы. Обозначим фокусное расстояние линзы как $F_{lens}$. Координата фокальной плоскости будет $x = F_{lens}$.

Найдем точку пересечения $P'$ вспомогательного луча $R_2$ с фокальной плоскостью. Уравнение луча $R_2$ после линзы имеет вид $y = x \cdot \tan\alpha$. В фокальной плоскости $x = F_{lens}$, поэтому координата точки пересечения по оси $\text{y}$ будет $y_{P'} = F_{lens} \cdot \tan\alpha$. Координаты точки $P'$ равны $(F_{lens}, F_{lens} \tan\alpha)$.

Вышедший из линзы луч $R'_1$ (преломленный луч $R_1$) должен пройти через точку $P(0, d)$, в которой он вошел в линзу, и через точку $P'(F_{lens}, F_{lens} \tan\alpha)$, так как он был параллелен лучу $R_2$.

Угол $\phi$, который составляет вышедший луч с главной оптической осью, можно найти через тангенс его угла наклона. Тангенс угла наклона — это угловой коэффициент прямой, проходящей через точки $\text{P}$ и $P'$:

$\tan\phi = \frac{y_{P'} - y_P}{x_{P'} - x_P} = \frac{F_{lens} \tan\alpha - d}{F_{lens} - 0} = \tan\alpha - \frac{d}{F_{lens}}$

Эта общая формула позволяет найти искомый угол для любого типа линзы.

а) собирающая линза

Для собирающей линзы фокусное расстояние положительно. В условии оно обозначено как $\text{F}$, так что $F_{lens} = F$.

Подставим это значение в общую формулу:

$\tan\phi = \tan\alpha - \frac{d}{F}$

Отсюда искомый угол $\phi$ равен:

$\phi = \arctan\left(\tan\alpha - \frac{d}{F}\right)$

Ответ: $\phi = \arctan\left(\tan\alpha - \frac{d}{F}\right)$, где $\text{d}$ — координата точки падения луча на линзу, $\alpha$ — угол наклона падающего луча, $\text{F}$ — фокусное расстояние собирающей линзы.

б) рассеивающая линза

Для рассеивающей линзы фокусное расстояние отрицательно. Если $\text{F}$ в условии — это модуль фокусного расстояния, то $F_{lens} = -F$.

Подставим это значение в общую формулу:

$\tan\phi = \tan\alpha - \frac{d}{-F} = \tan\alpha + \frac{d}{F}$

Отсюда искомый угол $\phi$ равен:

$\phi = \arctan\left(\tan\alpha + \frac{d}{F}\right)$

Ответ: $\phi = \arctan\left(\tan\alpha + \frac{d}{F}\right)$, где $\text{d}$ — координата точки падения луча на линзу, $\alpha$ — угол наклона падающего луча, $\text{F}$ — модуль фокусного расстояния рассеивающей линзы.