Номер 7.191, страница 172 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Линзы - номер 7.191, страница 172.

Условие.

7.191*. Линза с фокусным расстоянием 16 см даёт резкое изображение предмета при двух положениях, расстояние между которыми 60 см. Найдите расстояние от предмета до экрана.

Решение.

Дано:

Фокусное расстояние линзы $F = 16$ см

Расстояние между двумя положениями линзы $l = 60$ см

$F = 0.16$ м
$l = 0.60$ м

Найти:

Расстояние от предмета до экрана $\text{L}$

Решение:

Пусть $\text{L}$ - искомое расстояние от предмета до экрана. Расстояние от предмета до линзы обозначим как $d_o$, а расстояние от линзы до изображения (экрана) как $d_i$. Тогда справедливо соотношение $L = d_o + d_i$.

Формула тонкой собирающей линзы (для получения действительного изображения на экране линза должна быть собирающей) имеет вид:

$\frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{F}$

Подставим в формулу линзы выражение $d_i = L - d_o$:

$\frac{1}{d_o} + \frac{1}{L - d_o} = \frac{1}{F}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$\frac{L - d_o + d_o}{d_o(L - d_o)} = \frac{1}{F}$

$\frac{L}{Ld_o - d_o^2} = \frac{1}{F}$

Отсюда получаем квадратное уравнение относительно расстояния $d_o$:

$Ld_o - d_o^2 = LF$

$d_o^2 - Ld_o + LF = 0$

В условии сказано, что существует два положения линзы, при которых на экране получается резкое изображение. Это означает, что полученное квадратное уравнение имеет два действительных корня, $d_{o1}$ и $d_{o2}$, которые и являются расстояниями от предмета до линзы в этих двух положениях.

По теореме Виета, для корней этого уравнения справедливы соотношения:

$d_{o1} + d_{o2} = L$

$d_{o1} \cdot d_{o2} = LF$

Расстояние $\text{l}$ между двумя положениями линзы — это разность расстояний от предмета до линзы в этих положениях:

$l = |d_{o2} - d_{o1}|$

Используем известное тождество, связывающее сумму, разность и произведение двух чисел: $(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$. Применительно к нашим корням:

$(d_{o2} - d_{o1})^2 = (d_{o1} + d_{o2})^2 - 4d_{o1}d_{o2}$

Подставим в это тождество выражения из теоремы Виета и условие $l = |d_{o2} - d_{o1}|$:

$l^2 = L^2 - 4LF$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение для нахождения $\text{L}$:

$L^2 - 4LF - l^2 = 0$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи: $F = 16$ см, $l = 60$ см.

$L^2 - 4 \cdot 16 \cdot L - 60^2 = 0$

$L^2 - 64L - 3600 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью формулы для корней:

$L = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$L = \frac{64 \pm \sqrt{(-64)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3600)}}{2 \cdot 1} = \frac{64 \pm \sqrt{4096 + 14400}}{2} = \frac{64 \pm \sqrt{18496}}{2}$

Квадратный корень из $18496$ равен $136$.

$L = \frac{64 \pm 136}{2}$

Уравнение имеет два решения:

$L_1 = \frac{64 + 136}{2} = \frac{200}{2} = 100$ см.

$L_2 = \frac{64 - 136}{2} = \frac{-72}{2} = -36$ см.

Поскольку расстояние $\text{L}$ должно быть положительной величиной, физический смысл имеет только первый корень.

Ответ: 100 см.