Номер 7.64, страница 154 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Отражение света. Плоское зеркало - номер 7.64, страница 154.

Условие.

7.64* Небольшой предмет находится на одинаковом расстоянии от двух плоских зеркал, составляющих двугранный угол $120^\circ$. Расстояние от предмета до линии пересечения зеркал 10 см. Определите расстояние между изображениями предмета в зеркалах.

Решение.

Дано:

Угол между зеркалами $α = 120°$

Расстояние от предмета до линии пересечения зеркал $R = 10$ см

$R = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Расстояние между изображениями $\text{d}$

Решение:

Обозначим точку пересечения зеркал как $\text{O}$, предмет как $\text{S}$, а его изображения в первом и втором зеркалах как $S_1$ и $S_2$ соответственно.

Изображение в плоском зеркале является симметричным предмету относительно плоскости зеркала. Это означает, что расстояние от любой точки на линии пересечения зеркал $\text{O}$ до предмета $\text{S}$ равно расстоянию от $\text{O}$ до каждого из изображений $S_1$ и $S_2$.

$OS = OS_1 = OS_2 = R = 10 \text{ см}$

Таким образом, предмет $\text{S}$ и его изображения $S_1$ и $S_2$ лежат на окружности с центром в точке $\text{O}$ и радиусом $\text{R}$.

Поскольку предмет находится на одинаковом расстоянии от зеркал, он расположен на биссектрисе двугранного угла $α$.

Угол $\gamma$ между направлениями из точки $\text{O}$ на изображения $S_1$ и $S_2$ связан с углом между зеркалами $\alpha$. Для объекта на биссектрисе этот угол равен $\gamma = 2\alpha$. Если $2\alpha > 180°$, то для нахождения стороны треугольника $S_1OS_2$ берется меньший угол, равный $360° - 2\alpha$.

В нашем случае $\alpha = 120°$, поэтому угол между направлениями $OS_1$ и $OS_2$ равен $360° - 2 \cdot 120° = 360° - 240° = 120°$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $S_1OS_2$, в котором боковые стороны $OS_1 = OS_2 = R$, а угол между ними $\angle S_1OS_2 = 120°$. Расстояние между изображениями $\text{d}$ (длина отрезка $S_1S_2$) является основанием этого треугольника.

Применим теорему косинусов для треугольника $S_1OS_2$:

$d^2 = OS_1^2 + OS_2^2 - 2 \cdot OS_1 \cdot OS_2 \cdot \cos(120°)$

Подставляя известные значения и учитывая, что $\cos(120°) = -0.5$:

$d^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot (-\frac{1}{2})$

$d^2 = 2R^2 + R^2 = 3R^2$

$d = \sqrt{3R^2} = R\sqrt{3}$

Подставим числовое значение $R = 10$ см:

$d = 10\sqrt{3} \text{ см} \approx 17.32 \text{ см}$

Ответ: расстояние между изображениями предмета в зеркалах составляет $10\sqrt{3}$ см.