Номер 25, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 25, страница 49.

Условие.

6.25. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 4 см. Точки $M$ и $K$ – середины рёбер $AD$ и $BB_1$ соответственно. На ребре $CD$ отметили точку $E$, а на его продолжении за точку $D$ – точку $F$ так, что $DE = 1$ см, а точка $D$ – середина отрезка $CF$. Докажите, что прямая $KF$ перпендикулярна плоскости $MD_1E$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства того, что прямая $KF$ перпендикулярна плоскости $MD_1E$, воспользуемся методом координат. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В качестве таких прямых выберем $D_1M$ и $D_1E$.

1. Введение системы координат и нахождение координат точек.

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ вдоль ребра $DC$ и ось $Oz$ вдоль ребра $DD_1$. Ребро куба равно $4$ см.

Найдем координаты всех необходимых точек:

• $D(0, 0, 0)$ — начало координат.
• $A(4, 0, 0)$, $C(0, 4, 0)$, $D_1(0, 0, 4)$.
• $M$ — середина ребра $AD$. Координаты $M$: $(\frac{4+0}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+0}{2}) = (2, 0, 0)$.
• $B(4, 4, 0)$ и $B_1(4, 4, 4)$. $K$ — середина ребра $BB_1$. Координаты $K$: $(\frac{4+4}{2}; \frac{4+4}{2}; \frac{0+4}{2}) = (4, 4, 2)$.
• $E$ лежит на ребре $CD$ так, что $DE = 1$ см. Координаты $E$: $(0, 1, 0)$.
• $D$ — середина отрезка $CF$. Пусть $F(x_F, y_F, z_F)$. Тогда $D = (\frac{x_C+x_F}{2}; \frac{y_C+y_F}{2}; \frac{z_C+z_F}{2})$.
  $0 = \frac{0+x_F}{2} \Rightarrow x_F = 0$
  $0 = \frac{4+y_F}{2} \Rightarrow y_F = -4$
  $0 = \frac{0+z_F}{2} \Rightarrow z_F = 0$
  Координаты $F$: $(0, -4, 0)$.

2. Нахождение векторов.

Найдем координаты векторов $\vec{KF}$, $\vec{D_1M}$ и $\vec{D_1E}$ по координатам их начала и конца:

• $\vec{KF} = (0-4; -4-4; 0-2) = (-4; -8; -2)$.
• $\vec{D_1M} = (2-0; 0-0; 0-4) = (2; 0; -4)$.
• $\vec{D_1E} = (0-0; 1-0; 0-4) = (0; 1; -4)$.

3. Проверка перпендикулярности векторов.

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Проверим это условие для пар векторов ($\vec{KF}$, $\vec{D_1M}$) и ($\vec{KF}$, $\vec{D_1E}$).

Скалярное произведение $\vec{KF}$ и $\vec{D_1M}$:
$\vec{KF} \cdot \vec{D_1M} = (-4) \cdot 2 + (-8) \cdot 0 + (-2) \cdot (-4) = -8 + 0 + 8 = 0$.
Следовательно, $\vec{KF} \perp \vec{D_1M}$, а значит прямая $KF$ перпендикулярна прямой $D_1M$.

Скалярное произведение $\vec{KF}$ и $\vec{D_1E}$:
$\vec{KF} \cdot \vec{D_1E} = (-4) \cdot 0 + (-8) \cdot 1 + (-2) \cdot (-4) = 0 - 8 + 8 = 0$.
Следовательно, $\vec{KF} \perp \vec{D_1E}$, а значит прямая $KF$ перпендикулярна прямой $D_1E$.

4. Вывод.

Прямые $D_1M$ и $D_1E$ лежат в плоскости $MD_1E$ и пересекаются в точке $D_1$ (их направляющие векторы $\vec{D_1M}=(2;0;-4)$ и $\vec{D_1E}=(0;1;-4)$ не коллинеарны).
Поскольку прямая $KF$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($D_1M$ и $D_1E$), лежащим в плоскости $MD_1E$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $KF$ перпендикулярна плоскости $MD_1E$.

Ответ: Что и требовалось доказать.