Номер 23, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 23, страница 49.

Условие.

6.23. Найдите расстояние от начала координат до плоскости $2x - y + 5z + 15 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения расстояния от точки с координатами $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости, заданной уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, используется формула:

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

В данной задаче требуется найти расстояние от начала координат до плоскости $2x - y + 5z + 15 = 0$.

Начало координат — это точка $O(0, 0, 0)$, следовательно, в нашем случае $x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $z_0 = 0$.

Из уравнения плоскости $2x - y + 5z + 15 = 0$ определяем коэффициенты:

$A = 2$, $B = -1$, $C = 5$, $D = 15$.

Подставим эти значения в формулу для расстояния:

$$d = \frac{|2 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 15|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 5^2}}$$

Вычислим значение числителя:

$$|2 \cdot 0 - 0 + 5 \cdot 0 + 15| = |0 + 0 + 0 + 15| = |15| = 15$$

Вычислим значение знаменателя:

$$\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 1 + 25} = \sqrt{30}$$

Таким образом, искомое расстояние равно:

$$d = \frac{15}{\sqrt{30}}$$

Упростим полученное выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$$d = \frac{15}{\sqrt{30}} = \frac{15 \cdot \sqrt{30}}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{30}} = \frac{15\sqrt{30}}{30} = \frac{\sqrt{30}}{2}$$

Ответ: $\frac{\sqrt{30}}{2}$.