Номер 29, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 29, страница 50.

Условие.

6.29. Радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной пирамиды, равен 6 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дана правильная треугольная пирамида, в основании которой лежит правильный треугольник ABC, а S — ее вершина. SO — высота пирамиды, где O — центр основания (и центр описанной окружности).

Из условия задачи известно, что радиус окружности, описанной около основания, $R = 6$ см. Боковое ребро, например SA, наклонено к плоскости основания под углом $30°$. Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между ребром SA и его проекцией на эту плоскость, то есть отрезком OA. Таким образом, $\angle SAO = 30°$. Отрезок OA является радиусом описанной окружности, поэтому $OA = R = 6$ см.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды находится по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot h_a$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).

Для нахождения площади боковой поверхности выполним следующие шаги.

1. Нахождение стороны и периметра основания

Сторона правильного треугольника $a$ связана с радиусом описанной окружности $R$ соотношением $a = R\sqrt{3}$. Подставим известное значение $R$: $a = 6\sqrt{3}$ см.

Периметр основания $P_{осн}$ равен сумме длин его сторон: $P_{осн} = 3a = 3 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$ см.

2. Нахождение апофемы пирамиды

Апофема $h_a$ — это высота боковой грани. Найдем ее. Сначала определим длину бокового ребра $l = SA$ из прямоугольного треугольника SOA ($\angle SOA = 90°$). $\cos(\angle SAO) = \frac{OA}{SA} \implies SA = \frac{OA}{\cos(30°)}$ $l = SA = \frac{6}{\sqrt{3}/2} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим боковую грань, например, равнобедренный треугольник SAB. Апофема $h_a$ является его высотой SM, проведенной к основанию AB. M — середина AB. Рассмотрим прямоугольный треугольник SMA ($\angle SMA = 90°$). Катет AM равен половине стороны основания: $AM = \frac{a}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

По теореме Пифагора найдем апофему $h_a = SM$: $h_a^2 = SA^2 - AM^2 = (4\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 - 9 \cdot 3 = 48 - 27 = 21$. $h_a = \sqrt{21}$ см.

3. Вычисление площади боковой поверхности

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности, подставив найденные значения в формулу: $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 18\sqrt{3} \cdot \sqrt{21} = 9\sqrt{3} \cdot \sqrt{3 \cdot 7} = 9\sqrt{3^2 \cdot 7} = 9 \cdot 3\sqrt{7} = 27\sqrt{7}$ см².

Ответ: $27\sqrt{7}$ см².