Номер 26, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 26, страница 49.

Условие.

6.26. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Докажите, что прямая $A_1C$ перпендикулярна плоскости $AB_1D_1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства того, что прямая $A_1C$ перпендикулярна плоскости $AB_1D_1$, необходимо доказать, что прямая $A_1C$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В качестве таких прямых выберем $AB_1$ и $AD_1$, которые пересекаются в точке $A$.

Для доказательства воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $A$. Направим оси координат вдоль ребер куба: ось $Ox$ — вдоль $AB$, ось $Oy$ — вдоль $AD$, ось $Oz$ — вдоль $AA_1$. Примем длину ребра куба равной $a$.

В выбранной системе координат найдем координаты необходимых для решения задачи вершин:
$A(0, 0, 0)$
$C(a, a, 0)$
$A_1(0, 0, a)$
$B_1(a, 0, a)$
$D_1(0, a, a)$

Теперь определим координаты векторов $\vec{A_1C}$, $\vec{AB_1}$ и $\vec{AD_1}$, которые являются направляющими для соответствующих прямых:
$\vec{A_1C} = \{a - 0, a - 0, 0 - a\} = \{a, a, -a\}$
$\vec{AB_1} = \{a - 0, 0 - 0, a - 0\} = \{a, 0, a\}$
$\vec{AD_1} = \{0 - 0, a - 0, a - 0\} = \{0, a, a\}$

Проверим перпендикулярность прямых через скалярное произведение их направляющих векторов. Прямые перпендикулярны, если скалярное произведение их векторов равно нулю.

1. Проверим перпендикулярность $A_1C$ и $AB_1$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{A_1C}$ и $\vec{AB_1}$:
$\vec{A_1C} \cdot \vec{AB_1} = a \cdot a + a \cdot 0 + (-a) \cdot a = a^2 + 0 - a^2 = 0$.
Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, следовательно, и прямые $A_1C \perp AB_1$.

2. Проверим перпендикулярность $A_1C$ и $AD_1$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{A_1C}$ и $\vec{AD_1}$:
$\vec{A_1C} \cdot \vec{AD_1} = a \cdot 0 + a \cdot a + (-a) \cdot a = 0 + a^2 - a^2 = 0$.
Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, следовательно, и прямые $A_1C \perp AD_1$.

Таким образом, мы доказали, что прямая $A_1C$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AB_1$ и $AD_1$), лежащим в плоскости $AB_1D_1$. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $A_1C$ перпендикулярна плоскости $AB_1D_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.